空間のランダム分割の研究

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640125
• Research Institution: Kagoshima University
• Principal Investigator: 磯川 幸直 鹿児島大学, 教育学部, 助教授 (20159809)
• Keywords: ランダム分割 / ランダムパッキング / 13球問題

Research Abstract

1.3次元双曲空間のランダム分割に関して、ポアソン・ボロノイ多面体の頂点数、辺の総長、および表面積等の幾何学的量の平均値を明示的に与える公式を発見した。これらの公式は、ユークリッド空間の場合の対応する公式と、空間の曲率とポアソン分布の点密度だけに依存する関数の積になっている。その結果、これらの幾何学的量に対するデータにもとづいて、空間の曲率を推定する可能性が拓かれた。(業績[1],[2])
2.3次元ユークリッド空間において、正4角柱ロッドを直交座標軸のどれかと平行になるようにランダムパッキングする問題を、6次元のマルコフ連鎖の問題に帰着する方法を発見した。これを利用してシミュレーションを行なった結果、ロッドが統計的に等方的に配置されること、およびロッドのパッキング密度が3/4になることが見出された。(業績[3])
3.1次元ユークリッド空間において、長さをある自己相似な確率分布Pにしたがって発生した開区間を、ランダムパッキングする。このとき、パックされた区間の長さの確率分布Qは、Pとは異なる自己相似分布になることを証明した。またPが一様分布である特別な場合に、どの区間によっても覆われない点の集合のハウスドルフ次元を精密に決定した。(業績[4])
4.2次元単位球面上に接触して、同じ大きさの12個の球を配置する、有名な13球問題に関して、球の配置に関して従来知られていなかった精密な情報を得ることに成功した。球帽の言葉で述べることにして、12個の球帽の中心が定めるデローネ分割としては正20面体グラフだけが可能であること、またそれら球帽の中心の間の距離の最大値はarccos 1/7より小さいことを証明した。(業績[5])

Research Products

• [Publications] Isokawa, Y.: "[1] Poisson-Voronoi tessellations in 3-dimensional hyperbolic spaces"Advances in Applied Probability. 32. 648-662 (2000)
• [Publications] Isokawa, Y.: "[2] Random tessellations in hyperbolic spaces"11 th International Workshop on Stereology, Stochastic Geometry and related fields. 9-9 (2001)
• [Publications] Isokawa, Y.: "[3] Random sequential packing of cuboids with infinite height"Forma. 16. 327-338 (2000)
• [Publications] Isokawa, Y.: "[4] Some problems of random sequential packing of intervals, discs, and cylinders"28 th Conference on Stochastic Processes and their Applications. 59-59 (2002)
• [Publications] Isokawa, Y.: "[5] The problem of thirteen spheres"ISM Symposium on Statistics, Combinatorics and Geometry. 20-20 (2003)