2002 Fiscal Year Annual Research Report
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13640126
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| Research Institution | University of the Ryukyus |
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Principal Investigator |
前原 濶 琉球大学, 教育学部, 教授 (60044921)
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| Keywords | ランダム球帽系 / 交グラフ / 見かけの角 / 漸近確率 |
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| Research Abstract |
球面上のランダム幾何とその応用についての今年度の研究結果
1)Fを単位球面上の球帽の系とし、その球帽系の交グラフをG(F)で表わす。Fに属する球帽Cは、他の球帽の中心がすべて、Cの中心を通るある大円の一方の側にあるとき、片側球帽という。また、半球面より小さい球帽はプロパーという。このとき、次のことを証明した。Fに片側球帽が存在しなければ、G(F)は連結である。Fに片側球帽が存在せず、さらに、Fに属する球帽がすべてプロパーなら、G(F)は2連結である。(高次元の球面ではこれと類似の結果は成り立たない例も構成した。)これを利用して、ランダム球帽系の交グラフに関して次の結果を得た。こんどは、Fを、単位球面上の、面積が(4πc/N)log Nの(同じ大きさの)N個のランダムな球帽の系とする。c>1/2ならば、N→∞のとき、G(F)が2連結となる確率は1に収束し、c<1/4ならば、N→∞のとき、G(F)が連結になる確率は0に収束する。
2)3次元空間内の三角形AOBの∠Oの大きさをωとする。視点Pから∠Oを見るとき、その見かけの大きさは、ΔAOBを直線POに垂直な平面に正射影して得られる三角形A'O'B'の∠O'の大きさに等しい。視点PがOを中心とする単位球面上のランダムな点のとき、∠O'の大きさΘ(ω)を∠Oのランダムな見かけの角という。確率変数Θ(ω)は明らかにωだけに依存する。東海大の前田陽一氏との共同研究のより、Θ(ω)の期待値と分散に関して、E(Θ(ω))=ω、V(Θ(π-ω))=V(Θ(ω))、および、V(Θ(ω))が容易に数値計算できる2重積分の式を得た。
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[Publications] H.Maehara, A.Oshiro: "Arranging solid balls to represent a graph"Graphs and Combinatorics. 18. 343-365 (2002)
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[Publications] H.Maehara: "The length of the shortest edge of a graph on a sphere"European Journal of Combinatorics. 23. 713-717 (2002)
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[Publications] H.Maehara: "An inequality on the size of a set in a Cartesian product"European Journal of Combinatorics. 23. 1055-1059 (2002)
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[Publications] H.Maehara: "A simple proof of the existence of non-obtuse triangulation for polygons"Ryukyu Mathematical Journal. 15. 43-48 (2002)
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[Publications] H.Maehara: "Acute triangulations of polygons"European Journal of Combinatorics. 23. 45-55 (2002)
