2001 Fiscal Year Annual Research Report
| Project/Area Number |
13640138
|
|---|
| Research Institution | Nihon University |
|---|
Principal Investigator |
斎藤 明 日本大学, 文理学部, 教授 (90186924)
|
|---|
| Keywords | 閉包 / 2-因子 / ハミルトン閉路 / 閉路 / 最長閉路 / 最長パス / 内周 |
|---|
| Research Abstract |
本研究は、従来グラフのハミルトン閉路及び1-因子の研究で用いられてきた閉包操作を、条件付き2-因子の研究へ応用することを目的としている。本年度は2年計画の1年目にあたり、主にBondy-Chvatal閉包との関係を調べた。その研究実績は以下の通りである。
1.Bondy-Chvatal型の閉包を用いて、4頂点の次数和が大きい3-連結グラフの最長閉路と最長パスの位数の差の上界を求めた。連結グラフにおいては、そのグラフがハミルトン閉路を持つことと、この差が0になることは同値であることが知られている。今まで4頂点の次数和が2|V(G)|-1以上になると3-連結グラフGがハミルトン閉路を持つことは知られていた。しかしこの次数和が2|V(G)|-1よりも少しでも下がると、ハミルトン性は完全に崩れてしまうと考えられていた。今回の研究結果は、「次数和が(3/2)|V(G)|+1以上あれば、Gの最長閉路と最長パスの位数の差は高々1である」というものである。すなわち、たとえ次数和が2|V(G)|-1から(1/2)|V(G)|程度下がっても、まだハミルトン性に近い状態が保たれているということが観察されたことになる。
2.同じくBondy-Chvatal型の閉包操作を用いて、内周4以上のグラフに関する条件付き2-因子の存在条件を求めた。またその結果を用いて、内周4以上の2-連結グラフがα(G)≦2κ(G)-2を満たせば、Gは長さmin{n-α(G)+κ(G),n}以上のサイクルを持つことを証明した。但し、α(G)はGの独立数、κ(G)はGの連結度である。これは「α(G)≦κ(G)なるグラフはハミルトン閉路を持つ」というChvatal-Erdosの定理を包含している。今まではChvatal-Erdosの条件が壊れたときに、その帰結がどのように変化していくのかは解明されていなかった。しかし今回の結果により、内周4以上のグラフについては、α(G)-κ(G)の差の分だけ徐々に長さが減じていくという、穏やかな変化が観察された。
3.2年目の計画につなぐ研究として、Bondy-Chvatal型以外の閉包に関する研究を開始した。特にRyjacek閉包が完全グラフになるグラフの2-因子の構造を解明した。
|
-
[Publications] G. Chen: "Vertex-disjoint cycles containing specified edges in a bipartite graph"Australasian J. Combinatorics. 23. 37-48 (2001)
-
[Publications] Z. Ryjacek: "Claw-free graphs with complete closure"Discrete Mathematics. 236. 325-338 (2001)
-
[Publications] R. Li: "Relative length of longest paths and cycles in 3-connected graphs"J. Graph Theory. 37. 137-156 (2001)
-
[Publications] K. Kawarabayashi: "Hamiltonian cycles in n-factor-critical graphs"Discrete Mathematics. 240. 71-82 (2001)
