グラフおよび離散群上の調和解析と確率モデルのスケーリング極限

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640175
• Research Institution: Okayama University
• Principal Investigator: 洞 彰人 岡山大学, 環境理工学部, 助教授 (10212200)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 村井 浄信 岡山大学, 大学院・文化科学研究科, 助手 (00294447) ; 佐々木 徹 岡山大学, 環境理工学部, 講師 (20260664)
• Keywords: グラフのスペクトル / スケーリング極限 / 代数的確率論 / 中心極限定理 / 量子分解法 / 対称群 / ヤング図形 / 相互作用フォック空間

Research Abstract

研究課題名のもとに、グラフの隣接作用素のスペクトルの漸近解析と、対称群の表現の漸近挙動について、相互に関連した研究を行った。何らかの対称性によって特徴づけられる巨大な系の漸近的・統計的性質をスケーリング極限の方法を用いて読み取るのが、われわれの研究テーマの大枠であった。本年度は、量子分解法によるグラフのスペクトル解析が進展し、ある程度一般性を有する理論の構築ができた。グラフのいろいろな特性量の漸近的な値と相互作用フォック空間のパラメータとの結びつきが、かなり具体的な形で見えるようになってきた。それは、ある種の正則グラフに対する個々のスペクトル極限の計算を包括するものである。多モードの相互作用フォック空間とのつながりについては、ところどころに端緒は見え隠れしているものの、明確な手掛かりは未だつかめていないのが現状である。対称群の既約表現の漸近挙動に関しては、量子分解法を応用する観点から、既約指標に対する中心極限定理の非可換化(量子中心極限定理)の研究を行った。結果は相互作用フォック空間の枠にはおさまりきらないものであり、その位置づけは今後の研究課題として残っている。これは、いろいろな統計アンサンブルにおけるランダムなヤング図形のゆらぎに密接に関係する。われわれのアプローチは、代数的確率論の枠組を用いてゆらぎの精密な記述を目指すものである。ヤング図形のランダムな成長モデルに関する研究は、ランダム行列、行列式過程、自由確率論などとの関連が注目を浴びつつあり、われわれの量子分解法によるスペクトル解析の発展方向に大きな示唆を与えると考えている。

Research Products

• [Publications] Y.Hashimoto, A.Hora, N.Obata: "Central limit theorems for large graphs : Method of quantum decomposition"Journal of Mathematical Physics. 44・1. 71-88 (2003)
• [Publications] A.Hora: "Noncommutative aspect of central limit theorem for the irreducible characters of the symmetric groups"Quantum Probability and White Noise Analysis. 16. 318-328 (2002)
• [Publications] 洞 彰人, 尾畑 伸明: "量子分解法による隣接作用素のスペクトル解析I"数理解析研究所講究録. 1291. 11-44 (2002)