グラフおよび離散群上の調和解析と確率モデルのスケーリング極限

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640175
• Research Institution: Okayama University
• Principal Investigator: 洞 彰人 岡山大学, 環境理工学部, 助教授 (10212200)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 村井 浄信 岡山大学, 大学院・文化科学研究科, 助手 (00294447) ; 佐々木 徹 岡山大学, 環境理工学部, 講師 (20260664)
• Keywords: グラフのスペクトル / スケーリング極限 / 量子確率論 / 中心極限定理 / 対称群の表現 / 量子分解法 / ヤング図形 / 距離正則グラフ

Research Abstract

研究課題名のもとに、離散群のケーリーグラフや距離正則グラフなどの対称性の高いグラフに対して、それらのスペクトルのサイズ無限大に沿う漸近挙動を調べ、いろいろな状態で測ったときのスケーリング極限の計算を実行するのが、本研究の目的であった。本年度の成果はおおよそ次の3つの項目に集約される。
1.量子中心極限定理の枠組の中で、ギッブス状態に関するスペクトル分布の詳しい計算を行った。具体的には、オブザーバブルとしてジョンソングラフの隣接作用素を取って、低温・高次数のスケーリング極限を考察し、極限の描像をマイクスナー多項式に付随する相互作用フォック空間を用いて記述した。モーメントの計算のために、独自の組合せ的な方法を工夫した。
2.量子分解法によるグラフのスペクトル解析についての一般的な理論の整備を行った。相互作用フォック空間を特徴づけるパラメータと正則グラフの図形的な統計量のつながりを与え、直交多項式やグリーン関数の方法を用いて、極限分布の現れ方を系統的に整理した。また、新しく興味深い例をいくつか与えた。この項の成果は、東北大学の尾畑伸明氏との共同研究に密接に関わっている。
3.中心極限定理の観点から、対称群の表現とヤング図形に関する漸近的組合せ論の研究を行った。具体的には、量子確率論のアイデアを通して、対称群の既約指標とプランシェレル測度に対するケロフの中心極限定理の精密化を得た。極限描像を記述する生成・消滅作用素を定式化するため、通常のヤンググラフの変形を工夫した。

Research Products

• [Publications] A.Hora: "Scaling limit for Gibbs states of Johnson graphs and resulting Maixner classes"Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability, and Related Topics. 6,No.1. 139-143 (2003)
• [Publications] A.Hora, N.Obata: "Quantum decomposition and quantum central limit theorem"Quantum Probability and White Noise Analysis. 17. 284-305 (2003)
• [Publications] A.Hora: "A noncommutative version of Kerov's Gaussian limit for the Plancherel measure of the symmetric group"Springer Lecture Notes in Mathematics. 1815. 77-88 (2003)
• [Publications] 洞 彰人: "ヤング図形の極限形状とゆらぎにまつわる漸近的組合せ論"数理解析研究所講究録. 1310. 85-104 (2003)