平滑化作用及び関連する諸問題の研究

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640187
• Research Institution: Himeji Institute of Technology
• Principal Investigator: 保城 寿彦 姫路工業大学, 理学部, 教授 (40211544)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 杉本 充 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (60196756) ; 楳田 登美男 姫路工業大学, 理学部, 教授 (20160319) ; 岩埼 千里 姫路工業大学, 理学部, 教授 (30028261)
• Keywords: 偏微分方程式 / スペクトル理論 / 調和解析学 / 平滑化作用(smoothing effect) / 極限吸収の原理 / 制限定理

Research Abstract

本課題では分散型方程式の初期値問題における平滑化作用(smoothing effect)及び関連する諸問題について研究する。また本課題の特長は平滑化作用の必要条件や十分条件を純粋数学的な立場から取り組むことにある。すなわち例えて言えば、初期値問題の適切性の研究はHadamardの仕事に始まっているが、1960年代からの超局所解析の発展に伴ってLax-Mizohataの定理やLevi条件等のよりsophisticateされた研究が行われたが、本課題はこの様な研究と類似した研究をこれから始めようとするものである。具体的には以下の様な結果が本年度で得られ、研究発表の欄にある論文で発表されることになった。
(1)定数係数の初期値問題において初期値と比べて解の滑らかさが局所的に時空間で(m-1)/2階(ここでmは方程式の階数)上がる為の必要十分条件は作用素(generator)の主表象のgradientが単位球面上消えないことであることを証明した。
(2)平滑化作用はスペクトル理論の極限吸収の原理と密接な関連があることを筆者は前課題で注意した。スペクトル理論では重み付きSobolev空間よりもAgmonとHoermanderが導入したBesovタイプの空間で考察することがoptimalであると考えられている。平滑化作用についての重み付きSobolev空間での結果をMourreの方法を用いて、これらのBesovタイプの関数空間への精密化を行った。
現在投稿中の論文もあり、また変数係数の方程式への一般化も予定している。次年度以降の発展に期待されたい。

Research Products

• [Publications] 保城寿彦: "Global smoothing properties of dispersive equations with constant coefficients"Proceedings of 3^<rd> ISAAC Congress (World Scientific). (出版予定). (2002)
• [Publications] 保城寿彦: "The maximal smoothing effect of dispersive equations with constant coefficients"数理解析研究所講究録"スペクトル・散乱理論とその周辺". (出版予定). (2002)
• [Publications] 楳田登美男: "Eigenfunction expansion associated with relativistic Schroedinger operators"Operator theory advances and applications. 126. 315-319 (2001)
• [Publications] 杉本充: "A weak extension theorem for inhomogeneous differential equations"Forum Mathematicum. 13. 323-334 (2001)