平均曲率一定曲面の変形と安定性の研究への関数解析的アプローチ

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640211
• Research Institution: Kyoto University of Education
• Principal Investigator: 小磯 深幸 京都教育大学, 教育学部, 教授 (10178189)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 藤岡 敦 金沢大学, 大学院・自然科学研究科, 講師 (30293335) ; 芥川 玲子(相山) 筑波大学, 数学系, 講師 (20222466) ; 宮岡 礼子 上智大学, 理工学部, 教授 (70108182)
• Keywords: 変文問題 / 平均曲率 / 安定性 / Euler-Lagrange方程式

Research Abstract

Bennett Palmer氏(Idaho State University, USA)との共同研究により,以下の結果を得た.
与えられた曲線上に境界の一部を持つ,重力を無視できないような薄膜に関する変分問題を提唱し,考察した.その解は,与えられた曲線Γ上に境界の一部を持つ曲面Fの,面積を保つ変分に対する「自由境界Cの長さL+Fの重力エネルギーG_γ+Fの濡れエネルギーW_β」(総エネルギーと呼ぶ)の臨界点として定式化され,そのEuler-Lagrange方程式は,Fの平均曲率,Fの自由境界Cの曲率,及びCとΓの成す角の満たすべき条件として表現される.
特に,Γが鉛直平面上にあり,かつFが平面領域である場合については,以下に述べるような詳しい結果を得た.この場合,我々の変分問題は,Γ上に両端点(自由境界)を持つ埋め込まれた曲線Cに対する変分問題の形で述べることができる.Cがこの変分問題の臨界点であるための必要十分条件は,Cの曲率が高さの線形関数であり,かつ,Cがその両端点においてΓと成す角が互いに補角を成すことである.Cが臨界点であるとき,CとΓによって囲まれるコンパクト領域Fが安定であるとは,面積を保ち境界条件を満たす任意の変分に対して総エネルギーの第2変分が非負であることと定義する.曲率が高さの線形関数であるという条件は,振り子の方程式に帰着されることがわかり,その解は,Jacobiの楕円関数を用いて具体的に記述できる.特に,Cが鉛直平面内に与えられた互いに平行な二鉛直線のそれぞれに一つずつ端点を持つ場合については,すべての臨界点を求め,さらに,対応する解それぞれの安定性・不安定性を完全に決定した.なお,安定性の判定には,解の満たす微分方程式より得られる解の対称性を本質的に用いた.

Research Products

• [Publications] Miyuki Koiso: "Stability for critical points of a one-dimensional geometric variational problem with constraint"京都大学数理解析研究所講究録. 1292. 146-161 (2002)
• [Publications] Oiga Gil-Medrano(Ed.): "Differential Geometry, Valencia 2001"World Scientific. 320 (2002)