2004 Fiscal Year Annual Research Report
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13640226
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| Research Institution | Kyoto Sangyo University |
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Principal Investigator |
辻 幹雄 京都産業大学, 理学部, 教授 (40065876)
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| Keywords | 非線形双曲型方程式 / 保存則系 / 古典解 / 弱解 / 特異性 / 衝撃波 |
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| Research Abstract |
非線形双曲型偏微分方程式に対する初期値問題について研究する。我々の関心は大域理論にある。この課題がまだ解決されていない理由の一つは『古典解が大域的に存在しない』、即ち『解に特異点が現れる』為である。従って我々の問題は「特異点を越えて解を延長すること』である。これまでの数学的理論においては概ね粘性法が用いられた。これは双曲型方程式を放物型方程式で近似するのである。双曲型と放物型では方程式の性質は大変異なる。従ってこの手法を再検討する必要性を感じている。一方、特異点論において最も自然な手法は"特異点の解消"である。このアイデアを解析学にも導入しようとする点が我々の研究の特色である。先ず最初の偏微分方程式を高次元空間に持ち上げ、Pfaff問題として定式化する。それがなめらかな大域的解をもつ場合がある。その解を基空間に射影することによりreasonableな"弱解"を構成する。従って我々の手法は方程式を本質的には変えていない。これまでに確立された数学的理論をこの視点から統一的に捉えることが出来ると信じていた。しかし高階偏微分方程式・及び系に対して我々の予想は一般的には正しくないことが判った。しかし我々の方法は大変自然である。従ってこの視点から更に推論を推し進めることにした。平成16年度は一般論を展開する為の準備としていろいろな具体例を解いた。例えば単独1階偏微分方程式についても再考した。方程式がp=(∂u/∂x_1,∂u/∂x_n)に関して凸であるとき幾何学的解を基空間に射影することにより弱解を構成することが出来た。これは昔の辻の成果である。今回、或る例においてpに関して凸性を仮定しなくても幾何学的解を基空間に射影することにより弱解を構成することが出来た。しかもその際、面白い現象が現れることが判った。現在、論文を作成中である。
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Research Products
(2 results)
