2次元空間の非線形波動における局在解およびホモクリニック解とその応用

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640395
• Research Institution: Utsunomiya University
• Principal Investigator: 矢嶋 徹 宇都宮大学, 工学部, 助教授 (40230198)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 西成 活裕 龍谷大学, 理工学部, 助教授 (40272083)
• Keywords: 高次元可積分方程式 / ホモクリニック解 / デービー=スチュアートソン方程式 / 安定性 / ラックス方程式 / ダルブー変換

Research Abstract

本研究課題の主目的は,2次元の非線形可積分方程式方程式であるDavey-Stewartson方程式(以下DS方程式)の新しい解のクラスであるホモクリニック解を求め,その応用可能性を探ることである.本年度は研究期間の初年度にあたるため,DS方程式のホモクリニック解の導出を目的として研究を進めた.
可積分方程式は対応するラックス方程式を有しており,DS方程式も同様である.ホモクリニック解を導出するためには,ラックス方程式のダルブー変換により固有値問題を変形し,ポテンシャルの変換公式を求める必要がある.したがって,ここではDS方程式のラックス方程式のダルブー変換可能性を検討した.DS方程式のラックス方程式は,一般の空間1次元の可積分方程式とは異なり,固有値問題が多変数化されている.このため,Ablowitz-Kaup-Newell-Segurヒエラルキーに属する方程式(非線形シュレディンガー方程式など)に対するダルブー変換と同様の方法を直接適用することが難しい.しかしながら,適当な変数変換を行なうことでこれらを適用可能な形にできることが確かめられ,これを元にしたホモクリニック解を求める方法の定式化を検討中である.
また,DS方程式の局在解としてドロミオン解が知られているが,それとは異なる条件のもとでの解を数値的に調べた.その結果,境界条件として与えるポテンシャルを変形することで,ドロミオンとは異なる性質をもつ解の可能性が確かめられた.解析的な手法による検討は現在進行中であるが,固有値問題の連続スペクトルが本質的に重要な役割を果たすと考えられる.
上記成果に関連する研究論文は,現在投稿準備中である.