| Research Abstract |
本研究課題の目的は,多次元系での非線形波動においてホモクリニック解に相当する解を導出し,その応用可能性を探ることである.昨年度までの研究においては,デービー=スチュアートソン(DS)方程式を考察対象として,ダルブー変換に類した変換の導入を行い,それを平面波に適用して解を求めた.この解の応用や,解の導出法の一般化の可能性を探るため,本年度は,まずダルブー型変換の構成と方程式の構造の間の関係を考察した.その結果,DS方程式に付随した固有値問題のもつ対称性が,固有値問題の解(ヨスト関数)の変換に現れていることが確かめられた.この事実は,昨年度までに求められた,変換の導入可能性がヨスト関数の構造に依存しているという結果を反映するものである.この結果は,本研究で得られた手法を一般の場合に拡張する際に重要な指針となると考えられる.
また,昨年度導出した平面波解に関して,系に生じた攪乱の不安定成長率の振る舞いをより詳しく調べた.その結果,攪乱が平面波状であるときは,不安定成長率は,解の波数ベクトルと攪乱の波数ベクトルの相互関係によって変化することがわかった,平面波解に対してダルブー型変換を適用して新たな解を求める際,この依存性が新しい解の構造に影響を与える可能性が見出された.さらに,ヨスト関数の成長には平面波解に空間構造が不可欠であることが示され,解の構造の探求が安定性解析に必要であることが明らかになった.
以上のように,本研究によって,2次元系における解の安定性を議論するための基礎が与えられた.本研究の結果に関連して,本研究で得られた解の構造は,2次元空間全体で見た場合,1つの方向にのみ局在しているが,2次元で真に局在する解に拡張できるかどうかは重要な問題である.また,2次元の各点での詳細な解の振る舞いが低次元の不安定成長を反映するかどうかの検討も興味深い問題である.このような問題が,本研究を行った結果,改めて検討すべき問題として新しく提出された.
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