Stanley-Reisner環の理論に現れるKoszul双対性の研究

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13740011
• Research Category: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 柳川 浩二 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助手 (40283006)
• Keywords: Stanley-Reisner環 / アファイン半群環 / Koszul双対性 / 単項式 / incidence algebra / Cohen-Macaulay環

Research Abstract

B. Sturmfelsの問題「normal toric idealは、Cohen-Macaulay(以下、CM)なinitial idealを持つか?」に対し、simplicialな場合に、肯定的な解答を与える事が出来た。詳しく言うと、最近、S. HostenとR. Thomasは、整数計画法的手法を駆使して、simplicialなnormal toric idealは、埋込素因子の無いinitial idealを持つことを示したのだが、私は、このイデアルが、常にCMであることを証明した。一般に、「埋込素因子を持たない」と言う条件は、「CM性」よりも遥かに弱く、normal toric idealのinitial idealに限っても、前者は後者を導かない。「simplicialな」と言う仮定を追加しても状況は変わらないと思われるが、Hosten-Thomasのイデアルは、ちゃんとCMなのである。なお、「simplicial」は、強い条件なので、より一般の場合が今後の課題と言える(実際、Hosten-Thomasの結果は、もう少し広いクラスをカバーしている)。
その他の話題としては、E. C. Zeemanが1960年代前半に(複数のホモロジー理論の間の関係を見る目的で)導入した二重複体と、normal toric ring上のsquarefree moduleとの関連が有る。これは最初、E. Millerによって指摘されたが、その後、本研究課題のテーマの一つである反変関手Ext^i_R(-,ω_R)との密接な関連も明らかとなり、現在、Millerとの共同研究が進展中である。また、宮地淳一氏やR. Martinez Villaとのディスカッションを通して、本研究課題と多元環論の話題(例えば、非可換双対化複体、Auslander reguler ring)との繋がりも色々見えてきたので、来年度は、この方向をさらに押し進めたい。

Research Products

• [Publications] Kohji Yanagawa: "Cohen-Macaulay initial ideals of simplicial toric ideals"Communications in Algelra. (発表予定).
• [Publications] Victor Reiner, Volkman Welker, Kohji Yanagawa: "Local Cohomology of Stanley-Reisner rings with support in general monomlal ideals"Journal of Algelra. 244. 706-736 (2001)
• [Publications] Kohji Yanagawa: "Sheaves on finite posets and madules over normal semigroup rings"Journal of pure and applied algelra. 161. 341-366 (2001)
• [Publications] Kohji Yanagawa: "Bass numbers of local cohomology modules with supports in monomial ideals"Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 131. 45-60 (2001)