2001 Fiscal Year Annual Research Report
代数体の岩澤理論の非アーベルp-拡大の手法による研究
| Project/Area Number |
13740013
|
|---|
| Research Category |
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
|
| Research Institution | Shimane University |
|---|
Principal Investigator |
尾崎 学 島根大学, 総合理工学部, 助教授 (80287961)
|
|---|
| Keywords | 岩澤理論 / Z_p-拡大 / 不分岐拡大 / 非アーベルp-拡大 |
|---|
| Research Abstract |
Z_p-拡大の岩澤理論の主要対象は岩澤加群=最大不分岐アーベルp-拡大のガロワ群であるが、本研究に於いては最大不分岐p-拡大を考察した。特に岩澤加群の非アーベル的拡張である高次岩澤加群を研究することによって、Z_p-拡大の非アーベル的数論における興味深い現象を新たに発見することができた。以下に主要な結果を挙げる。
1.Z_p拡大の中間体達の最大不分岐アーベルp-拡大のガロワ群の位数は、岩澤加群の構造不変量(岩澤不変量)によって記述することができる(岩澤類数公式)。これの非アーベル類似として、中間体の最大不分岐p-拡大のガロワ群の降中心列商の位数を、高次岩澤加群の構造不変量(高次岩澤不変量と呼ぶ)を用いて記述できないであろうか、という問題が考えられる。この問題を研究して、ある種のZ_p-拡大に対して、この岩澤類数公式の非アーベル類似を与えることができた。
2.上述の結果からも、Z_p-拡大の非アーベル的数論において高次岩澤加群や高次岩澤不変量が重要な対象であることが分かる。そこで虚二次体上の円分的Z_p-拡大に対して、これらの研究を行った。
(1)いくつかの虚二次体の円分的Z_3-拡大に対して、高次岩澤不変量を数値計算も援用して決定した。さらには、それらのZ_3-拡大体の最大不分岐3-拡大の構造を明らかにした。
(2)虚二次体の円分的Z_2-拡大体上の最大不分岐2-拡大で、そのガロワ群が自由になるものを完全に決定した。また、虚二次体の円分的Z_2-拡大体上の最大不分岐2-拡大のガロワ群の構造に関する一般的な定理を得た。
|
