空間テータ曲線の局所変形とVassiliev不変量の研究

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13740035
• Research Category: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• Research Institution: Tokyo Gakugei University
• Principal Investigator: 安原 晃 東京学芸大学, 教育学部, 助教授 (60256625)
• Keywords: 結び目 / 局所変形 / C_κ-move / Vassiliev不変量 / θ曲線

Research Abstract

結び目・絡み目の局所変形にC_κ-moveと呼ばれるものがある.これは葉広氏により定義されたもので,同氏は数年前に次の驚くべき結果「2つの結び目の位数κ-1のVassiliev不変量が等しい為の必要十分条件は,それらがC_κ-moveで移り合うことである.」を示した.
結び目の集合をC_κ-moveで割った同値類(これをC_κ同値類と呼ぶ)は,結び目の連結和という操作の下で可換群になる.これは葉広氏の結果の証明のキーポイントである.
結び目理論で良く扱われる空間グラフの1つに,空間θ曲線と呼ばれるものがある.空間θ曲線に対してもC_κ-moveが定義できるのであるが,最近の私の研究により,空間θ曲線のC_κ同値類が頂点連結和と呼ばれる操作の下で群構造をもつ事がわかり,位数κの低いところでは,葉広氏の定理と同様な結果が得られることがわかった.
結び目のC_k同値類のなす群と空間θ曲線のC_κ同値類のなす群の大きな違いは,結び目の方は可換群になるのが明らかなのに対し,空間θ曲線の方は位数κが大きくなると可換か否かの判定が困難になる事が挙げられる.本年度の研究成果として次が得られた.
[定理]空間θ曲線のC_κ同値類のなす群が可換であれば,2つの空間θ曲線の位数κ-1のVassiliev不変量が等しい為の必要十分条件は,それらがC_κ-moveで移り合うことである.
今後の研究の課題は,可換か否かを明らかにすることである.

Research Products

• [Publications] K.Taniyama, A.Yasuhara: "Band description of knots and Vassiliev invariants"Mathematical Proceedings of Cambridge Philosophical Society. (掲載予定).
• [Publications] K.Taniyama, A.Yasuhara: "Clasp-pass moves on knots, links and spatial graphs"Topology and its Applications. (掲載予定).
• [Publications] K.Taniyama, A.Yasuhara: "Local moves on spatial graphs and firute type invariants"Pacific Journal of Mathematics. (掲載予定).