対称函数の観点からみた結び目と3次元多様体の量子不変量の特殊値

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13740036
• Research Institution: Kanazawa University
• Principal Investigator: 川越 謙一 金沢大学, 理学部, 助手 (50293337)
• Keywords: 結び目・絡み目 / 3次元多様体 / グラフ / 量子不変量

Research Abstract

3次元球面内の絡み目がお互いにどれくらい絡みあっているかを量る度数、すなわち絡み目数という量は様々な定義があるが、その一つに絡み目の補空間を利用して定義する方法がある。今回、その絡み目数を補空間の表現を通して再解釈を行った。今までの古典的な絡み目数は補空間の表現を自明な表現とした時に対応している。また計算結果により絡み目数が自明でも、自明でない表現を考えれば、non-trivialな量を引き出せることが分かった。この"絡み目数"の性質などは現在も研究中である。(掲載予定)
いくつかの条件を満たす対称行列が存在すれば、それらを使って結び目の不変量が定義できることが知られており、その行列はスピンモデルと呼ばれる。スピンモデルに関してはJaegerのKauffman多項式に付随したスピンモデルの研究がよく知られている。今回Jaegerのスピンモデルを量子群の表現を通して調べると、Jaegerが「スピンモデルが存在するとするとこのようなスピンモデルだろう」と予想した所が、量子群の表現のある特殊値に対応していることが分かった。現在もこの研究を進めている最中である。

Research Products

• [Publications] K.Kawagoe: "Skeins associated with Homfly and Kauffman polynomials and invariants of graphs"Archiv der Mathematik. 76. 1-9 (2001)
• [Publications] K.Kawagoe: "Twisted linking numbers via representations of fundamental groups"Pacific Journal of Mathematics. 205. 139-152 (2002)