複素および超複素多様体上の擬リーマン計量とその共形構造に関する研究

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13740053
• Research Category: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• Research Institution: Numazu National College of Technology
• Principal Investigator: 鎌田 博行 沼津工業高等専門学校, 教養科, 助教授 (00249799)
• Keywords: 自己双対不定値ケーラー計量 / de Sitterアンザッツ / 時間的S^1対称性 / Hirzebruch曲面 / 超CR構造 / 四元数CR構造 / 田中・丹野・Webster接続

Research Abstract

1.コンパクト複素曲面における自己双対不定値ケーラー計量の存在問題に関連して、どのようなコンパクト複素曲面がそのような不定値計量を許容するかを研究し、特に、正定値の場合に良く知られているLeBrunのハイパボリック・アンザッツに類似した構成法(以下、de Sitterアンザッツと呼ぶ)を用いて、複素射影直線の直積空間上に時間的S^1対称性をもつ(共形平坦でない)自己双対不定値ケーラー計量の族を明示的に構成した。逆に、コンパクト複素曲面上にある種の時間的S^1対称性をもつ自己双対不定値ケーラー計量が存在するとき、この複素曲面は複素射影直線の直積空間と双正則であり、この計量は本質的には上記の構成法によって得られる計量と等長的であることを示した。さらに、これらの計量に関するKillingベクトル場および同伴する正則ベクトル場について考察することにより、de Sitterアンザッツによって得られる自己双対不定値ケーラー計量が互いに等長的であるための必要十分条件を求め、上記の族が無限個の異なる等長類を含むことを示した。また、一般の次数(階数)のHirzebruch曲面に対する自己双対不定値ケーラー計量の存在問題を考察し、特に、S^1作用の固定点集合を調べることにより、Hirzebruch曲面がある種のS^1対称性をもつ自己双対不定値ケーラー計量を許容するためには、曲面の次数が1以下でなければならないことを示した。
2.四元数空間あるいは超複素および四元数多様体内の実超曲面を典型例として含む幾何学的対象として、CR構造、Levi形式、擬エルミート構造の四元数的類似物(超CR構造、四元数CR構造)、および、それらの構造の強擬凸性を定義し、さらに、ある種の凸性の条件のもとで、CR幾何学における田中・丹野・Webster接続に類するアフィン接続が一意的に存在することを示した(納谷信氏(名古屋大学大学院・多元数理)との共同研究)。

Research Products

• [Publications] Hiroyuki Kamada: "Indefinite analogue of hyperbolic ansatz and its application"Tohoku Math. Publ. (Proceedings of the Fifth Pacific Rim Geometry Conference). 20. 69-73 (2001)
• [Publications] Hiroyuki Kamada, Shin Nayatani: "Quaternionic analogue of CR geometry"Seminaire de theorie spectrale et geometrie Grenoble. 19. 41-52 (2001)