2001 Fiscal Year Annual Research Report
randomな磁場のあるSchrodinger作用素に関連する問題の研究
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13740094
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Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
上木 直昌 京都大学, 大学院・人間・環境学研究科, 助教授 (80211069)
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| Keywords | random Schrodinger作用素 / Wegner型評価 / spectral localization / Gauss型確率場 / 磁場 / 確率解析 / 作用素論 / 微分方程式 |
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| Research Abstract |
本研究はrandomな磁場のあるSchrodinger作用素の性質を多角的に研究することを目的としているが、特に本年はこの作用素に対する局在の問題に関して結果を得た。局在の問題とはrandomな作用素のスペクトルがある区間で点スペクトルのみとなり対応する固有関数が遠方で指数的に減衰することを数学的に厳密に証明する問題であるが、近年の多くの研究によりWegner型評価と呼ばれる有界領域上の作用素の固有値の小区間における存在確率の評価が成り立てば解決出来ることが多いことがわかってきた。vector potentialがrandomな場合には考える作用素の2次形式がrandomな要素について単調性をもたないためにこのWegner型評価が成り立つかどうかよくわかっていない。しかし最近HislopとKloppによりrandomなvector potentialが小さい場合には確率空間上のvector場を用いることによりWegner型評価が示された。本研究ではこの方法を参考にしてvector potentialとscalar potentialがGauss型確率場を用いて定義される1つのまとまったクラスの作用素に対してWegner型評価を示し、局在の問題にも応用出来ることを示した。この結果はLeschkeの研究グループによって得られていたscalar potentialがGauss型確率場となっている場合の結果を部分的にvector potentialとscalar potentialが確率場として独立でない場合に拡張し、potentialの形もrandomな要素について単調性をもたない場合も含めて一般化したものとなっている。またHislopとKloppは合金型と呼ばれる格子の構造をもつ確率場を扱っているが、本研究の結果はこの合金型確率場に対する結果を部分的にGauss型確率場の様な格子の構造をもたない場合に拡張したものにもなっている。
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