非線形偏微分方程式系に対する差分解法を導出する離散変分法の開発,解析および応用

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13750060
• Research Category: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 降籏 大介 大阪大学, サイバーメディアセンター, 講師 (80242014)
• Keywords: 非線型偏微分方程式 / 離散変分法 / スペクトル法 / 差分法 / 高次差分 / Segel-Keller方程式

Research Abstract

本年度の目的は,離散変分法自身の性質の調査および可能性の模索と,適用が可能な非線形偏微分方程式群の対象をさらに発見することであった.この目的に対して研究を行なった結果,いくつかの新しい知見が得られた.
まず離散変分法の精度を向上させるための研究を行い,これまで時空間ともに二次中心差分により構成していた離散変分法に対し,空間次元方向の離散化に(Fourier)スペクトル法を適用することで空間精度を任意に向上できることを明らかにし,数値実験でも良好な結果を得た.
続いて時間方向の精度を上げる研究も進められ,Gonzalezの離散偏導関数やHairerのProjection method, Yoshida composition method等との関連性を調べつつ,Matsuoスキームや線形部分逆平均化などのいくつかのアイディアが提唱され,いずれも数値実験で良好な結果を得ている.その中でも,新しく提唱された非線型高次差分という概念は,微分連鎖律を全く破綻無く再現するなどの美しいその性質から,これからの発展が期待される大きな結果といってよい.この概念に対しての研究はこれからであり,次年度の研究に期待される.
また,適用が可能な非線形偏微分方程式群の対象をさらに発見する目的に対しても研究が進み,いくつかの異なる偏微分方程式群に対しても離散変分法が適用可能であることが示されつつある.具体的な方程式の適用例も増えつつあり,例えば粘菌挙動のモデル方程式であるSegel-Keller方程式等にも適用可能であることなどが判明してきている.これらに関しては,適用可能性が判明したぱかりであることからやはり次年度の研究に数値実験を含めその可能性が期待される.以上の結果より,本年度は当初の計画に見込まれた多くの結果が得られたと評価できると考えるものである.

Research Products

• [Publications] T.Matsuo, D.Furihata: "Dissipative or Conservative Finite Difference Schemes for Complex-Valued Nonlinear Partial Differential Equations"Journal of computational Physics. 171・2. 425-447 (2001)
• [Publications] D.Furihata: "Finite difference schemes for nonlinear wave equation that inherit energy conservation property"Journal of Computational and Applied Mathematics. 134・1-2. 35-57 (2001)
• [Publications] T.Matsuo, M.Sugihara, D.Furihara, M.Mori: "Spatially accurate conservative of dissipative finite difference schemes derived by the discrete variational method"Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics. (to be appeared).