2005 Fiscal Year Annual Research Report
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14204004
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
小磯 憲史 大阪大学, 理学研究科, 教授 (70116028)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
西谷 達雄 大阪大学, 理学研究科, 教授 (80127117)
満渕 俊樹 大阪大学, 理学研究科, 教授 (80116102)
梅原 雅顕 大阪大学, 理学研究科, 教授 (90193945)
榎 一郎 大阪大学, 理学研究科, 助教授 (20146806)
後藤 竜司 大阪大学, 理学研究科, 助教授 (30252571)
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| Keywords | 弾性曲線 / 極小曲面 / 変分問題 |
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| Research Abstract |
前の研究で3次元Euclid空間における円の一般化の変分問題として「極大極小部分多様体」を定義した.それは,定義(α)指定されたn次元体積Vの境界を持つ極小部分多様体B^<n+1>のうちその体積が最大であるものは何か,という定式化と,定義(β)指定されたn+1次元体積Vを持つ極小部分多様体B^<n+1>のうち,その境界の体積が最小であるものは何か,という定式化である.これら2つの定義は同一のEuler-Lagrange方程式を導くが,それぞれに関する安定性の関係については未解決であった。
この問題を次のように解決することができた.まず,次のように定義する.極大極小部分多様体(B,∂B)がVol(∂B)を保つBの極小部分多様体としての任意の変形B(t)について(d^2)/(dt^2)|_<t=0>Vol(B)【less than or equal】0となるときα準安定であるという.Vol(B)を保つBの極小部分多様体としての任意の変形B(t)について(d^2)/(dt^2)|_<t=0>Vol(∂B)【greater than or equal】0となるときβ準安定であるという.α,β準安定であって,等号成立が合同変換から導かれる変分ベクトル場に限るとき,それぞれα,β安定であるという.Euler-Lagrange方程式から,∂BのBにおける外向き単位法ベクトル場をνの方向の第2基本形式の跡trkはどちらも定数になる.
定理.(B,∂B)を極大極小部分多様体とする.1)trk>0ならば,(B,∂B)は(α)不安定である.2)trk<0ならば,(.B,∂B)の(α)安定性と(β)安定性は同値である.
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