ハリシュ-チャンドラ加群に付随した等方表現とべき零軌道理論

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14340001
• Research Institution: Hokkaido University
• Principal Investigator: 山下 博 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (30192793)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 関口 次郎 東京農工大学, 工学部, 教授 (30117717) ; 齋藤 睦 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70215565) ; 吉田 知行 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (30002265) ; 落合 啓之 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (90214163) ; 西山 享 京都大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70183085)
• Keywords: 単単純リー群 / べき零軌道 / 無限次元表現 / 不変微分作用素 / ハリシュ-チャンドラ加群 / 等方表現 / 随伴多様体

Research Abstract

本課題研究では,実半単純リー群の無限次元既約許容表現に対応するリー代数上のハリシュ-チャンドラ加群について,そのべき零不変量や一般化ホイッタッカー模型との間の相互関係を深いレベルで明瞭に解き明かすために,随伴サイクルの重複度を定める等方表現に焦点を絞って,ハリシュ-チャンドラ加群に対するべき零軌道理論を追求することを研究の主目標としている.本年度は,べき零軌道の量子化や特異べき単表現のテンソル積による既約ユニタリ表現の構成を用いて,ハリシュ-チャンドラ加群に付随する随伴多様体・等方表現と等質空間上の調和解析等との繋がりを明らかにすることを主眼に研究を進め,以下に述べる研究実績をあげた.
1.特異べき単最高ウェイト表現のテンソル積の既約分解を,対応するべき零軌道の直積の軌道分解との関係で考究した(山下).とくにEVIIの極小表現2個のテンソル積を詳しく扱い,PRV射影を用いて具体的に特定した等方表現がより明確に理解できるという新知見を得た.2.対称行列・交代行列の直積への一般線形群による作用を考察し(関口),その軌道分解の構造を明らかにした(落合,西山).この結果は1.の研究と深い繋がりがあり,等方表現の研究に今後大いに役立つものと期待される.3.離散系列表現の随伴多様体における最大次元軌道がリチャードソン的であるための条件を,ユニタリ群の場合に具体的に与えた(山下).
他の研究分担者は,各自の課題研究が深く関わる上記研究の実施過程で,セミナーや研究打合せをとおして本研究に常時参画した.また,山下・齋藤・澁川・和地は,12月2日-5日の期間,「表現論シンポジウム」を北海道で主催し,研究組織のメンバーを中心として,本課題研究についての討論と研究発表を集中して行った.

Research Products

• [Publications] Hiroshi Yamashita: "Isotropy representation for Harish-Chandra module"The Transactions of the 3rd Japanese-German Symposium on Infinite Dimensional Harmonic Analysis. (発表予定). (2004)
• [Publications] Satoshi Naito: "Three kinds of extremal weight vectors fixed by a diagram automorphism"Jornal of Algebra. 268・1. 343-365 (2003)
• [Publications] Jiro Sekiguchi: "Mapping of nilpotent orbits under embeddings of real forms of exceptional complex Lie algebras"The Asian Journal of Mathematics. 6・3. 409-432 (2002)
• [Publications] Hiroshi Yamashita: "Isotropy representation and projection to the PRV-component"数理解析研究所講究録. 1294. 62-71 (2002)
• [Publications] Mutsumi Saito: "The ring of differential operators for semigroup algebras-its finiteness"数理解析研究所講究録. 1289. 64-80 (2002)