2003 Fiscal Year Annual Research Report
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14340003
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
川又 雄二郎 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (90126037)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
織田 孝幸 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (10109415)
宮岡 洋一 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (50101077)
桂 利行 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (40108444)
小木曽 啓示 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (40224133)
斎藤 毅 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (70201506)
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| Keywords | 代数多様体 / 双有理幾何学 / 導来圏 / 連接層 / 標準因子 / スタック / フリップ / フロップ |
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| Research Abstract |
代数多様体の双有理幾何学と導来圏の理論の関係を研究した.射影的代数多様体に対して,その上の連接層全体のなす圏はアーベル圏になり,逆にこのアーベル圏から元の代数多様体を復元することができる.ところが,さらにこのアーベル圏を元にして,その有界複体のなす導来圏を構成すると,もはや元の代数多様体を復元することはできない.しかし,同値な導来圏を持つ代数多様体の間には密接な関係があり,双有理幾何学の立場から見て面白い現象が起こることが知られている.標準因子のレベルが等しいような滑らかな代数多様体は,同値な導来圏を持つであろうと予想し,いくつかの場合にそれを証明した.また逆に,一般型の滑らかな代数多様体と同値な導来圏を持つような滑らかな代数多様体は,もとの代数多様体と双有理同値であり,しかも標準因子のレベルが等しいということも証明した.そこで,これらの主張を滑らかなDeligne-Mumford stackの場合に拡張した命題を考えた.そして,滑らかもどきなトーリック多様体に付随した滑らかなDeligne-Mumford stackの場合に,対数的標準因子のレベルが等しいならば導来圏が同値になることを証明した.さらに,フロップのように対数的標準因子のレベルが等しい場合だけではなく,フリップのように対数的標準因子の間に大小関係がある場合も考察し,この場合には導来圏の間の忠実充満な関手が存在することを証明した.証明では,与えられたトーリック多様体上にいくつかの可逆もどき層からなる集合であって,導来圏全体を生成し,しかも自己準同型層の高次コホモロジーが消えるものの存在を示した.
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