外微分式系への応用特異点論

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14340020
• Research Institution: Hokkaido University
• Principal Investigator: 石川 剛郎 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (50176161)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 泉屋 周一 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80127422) ; 山口 佳三 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00113639) ; 諏訪 立雄 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (40109418) ; 宮岡 礼子 九州大学, 理学部, 教授 (70108182) ; 小野 薫 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (20204232)
• Keywords: モンジュ・アンペール系 / グルサ系 / ガウス曲率 / 非固有アフィン曲面 / ルジャンドル曲線 / 特異ルジャンドル多様体

Research Abstract

今年度は,次の成果を得た.(1)ラグランジュ対を持つモンジュ・アンペール系の一般論を展開し,さらに,その幾何学的解の特異点の研究を行った.特に,ガウス曲率一定曲面とその双対曲面がジェネリックに持つ特異点を完全に分類した.また,非固有アファイン曲面とその双対曲面が持つ特異点を分類した.これらは,古典的な未解決問題を,外微分式系への特異点論の応用により解決した成功例である.現在,研究分担者との共著論文を作成中であり,国際的専門雑誌に投稿予定である.(2)グルサ系の分類問題と,ルジャンドル特異曲線の分類問題を結び付け,グルサ・ルジャンドル双対性を発見し,グルサ系に対する不変量をルジャンドル曲線の同値類の集合として定義した.たとえば,5次元空間における階数2のグルサ系は,丁度2つの局所同型類を持つが,これは,解曲線の接触3空間への射影が特異点を持つか否か,という簡単な事実で区別できる.これも,特異点論の外微分式系の分類問題への画期的な応用例である.現在,共著論文を準備中である.(3)特異ルジャンドル多様体の変形理論と安定性理論を確立した.すでに論文にまとめ,現在,国際的専門誌へ投稿中である.来年度以降の3階偏微分方程式の幾何学的理論を創るための基礎理論となる.(4)「E-mail勉強会」を立ち上げ,モチーフ的積分論と非ホロノーム幾何に関する勉強を研究分担者を含めた人々と行い,また,本研究課題用のホームページを整備し,本研究課題の広報と情報収集を活発化し,この研究課題のより良い達成のための環境作りを行った.

Research Products

• [Publications] G.ISHIKAWA: "Classifying simgular Legendre curves by contactomorphisms"Journal of Geometry and Physics. (発表予定).
• [Publications] G.ISHIKAWA: "Perturbations of Caustics and Fronts"Banach Center Publications. 62. 101-116 (2004)
• [Publications] G.ISHIKAWA: "Symplectic bifurcations of plane curves and isotropic liftings"Quarterly Journal of Mathematics. 54-1. 73-102 (2003)
• [Publications] T.Suwa: "Rosidues of Chem classes"Journal of Mathematical Society of Japan. 55-1. 269-287 (2003)
• [Publications] S.Izumiya: "A symplectic framework for multiplane gravitational lensing"Journal of Mathematical Physics. 44-5. 2077-2093 (2003)
• [Publications] T.Ohmoto: "Self-intersection class for singularities and its application to fold maps"Transaction of American Mathematical Society. 355-9. 3825-3838 (2003)