2002 Fiscal Year Annual Research Report
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14340050
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Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
綿谷 安男 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (00175077)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
松井 卓 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (50199733)
濱地 敏弘 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (20037253)
幸崎 秀樹 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (20186612)
中路 貴彦 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (30002174)
梶原 毅 岡山大学, 環境理工学部, 教授 (50169447)
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| Keywords | 複素力学系 / C^*-環 / ヒルベルト双加群 / クンツ環 / 有理関数 / トエプリッツ作用素 / ジュリア集合 / 作用素 |
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| Research Abstract |
この研究では多項式や有理関数の反復合成のつくる複素力学系からヒルベルト空間上の作用素のつくる特別なC^*環を構築し、異なる二つの分野の関係を考察することが目的であった。有理関数fをリーマン球面上の複素力学系とみると、その反復合成の点列の挙動は穏やかな振る舞いをする点と不安定で複雑な振る舞いをする点があらわれる。前者の点の全体はFatou集合F_f、後者の点の全体はJulia集合J_fといわれる。後者のカオス的振る舞いを反映するように、まずJulia集合J_fの連続関数環A=C(J_f)上のヒルベルト双加群X_fを構成した。有理関数はリーマン球面上の有限分岐被覆写像なので、その分岐点での分岐指数をうまく考慮すると、fのグラフにC^*環A値内積が入るのがポイントである。ヒルベルト双加群X_fからToeplitz-Pimsner環T_fとその商環であるCuntz-Pimsner O_fを構成できる。このようにして有理関数fに新しくC^*環O_fを対応させることができた。特にfが多項式の時でさえ、C^*項O_fの構造はほとんどわからない。fが1次式f(z)=az+bの時には、Julia集合J_fが空集合でないのは|a|>1の場合だけで、このときC^*環O_fは円周S^1上の連続関数環C(S^1)になる。Fが2次式f(z)=z^2+cの時ですでに自明ではない。cがMandelbrot集合に属さない場合は、C^*環O_fはCuntz環O_2と同型になる。cがMandelbrot集合に属する場合は、特殊な時のc=0とテント写像を与えるc=-2の少なくともふたつはどちらもC^*環O_fはCuntz環O_2と同型にはならない。これらは単純C^*環で、そのK群を調べることで、互いに異なることもわかる。今年度の研究での最も大きな結果は、fが2次以上の有理関数の時、C^*環O_fはいつでも純無限の単純C^*環になることを証明できたことである。
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[Publications] T.Kajiwara, Y.Watatani: "Hilbert C^*-bi modules and continuous Cuntz-Krieger algebras"J. Math. Soc. Japan. 54. 35-59 (2002)
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[Publications] M.Izumi, H.Kosaki: "Kac algebras arising from composition of subfactors general theory and classification"Mem. Amer. Math. Soc.. 158. 1-198 (2002)
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[Publications] M.Izumi, H.Kosaki: "On a subfactor analogue of the second cohomology"Rev. Math. Phys.. 14. 733-757 (2002)
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[Publications] A.Dooley, T.Hamachi: "Markov odometer actions not of product type"Ergod. Th. Dynam. sys.. (to appear).
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[Publications] T.Matsui: "Bosonic central limit theorem for the One-dimensional XY model"Rev. Math. Phys.. 14. 675-700 (2002)
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[Publications] T.Nakazi, T.Yamamoto: "Two dimensional commutative Banach algebras and von Neumann inequality"Linear Algebra Appl.. 341. 273-290 (2002)
