2004 Fiscal Year Annual Research Report
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14340050
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
綿谷 安男 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (00175077)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
幸崎 秀樹 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (20186612)
濱地 敏弘 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (20037253)
松井 卓 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (50199733)
梶原 毅 岡山大学, 環境理工学部, 教授 (50169447)
中路 貴彦 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (30002174)
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| Keywords | 複素力学系 / C^*環 / ジュリア集合 / フラクタル集合 / クンツ環 / 有理関数 / 縮小写像 / 作用素 |
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| Research Abstract |
この研究では多項式や有理関数の反復合成のつくる複素力学系からヒルベルト空間上の作用素のつくる特別なC^*環を構築し、異なる二つの分野の関係を考察することが日的であった。有理関数fをリーマン球面上の複素力学系とみると、その反復合成の点列の挙動は穏やかな振る舞いをする点と不安定で複雑な振る舞いをする点があらわれる。前者の点の全体はFatou集合F_f、後者の点の全体はJulia集合J_fといわれる。後者のカオス的振る舞いを反映するように、まずJulia集合J_fの連続関数環A=C(J_f)上のヒルベルト双加群X_fを構成した。有理関数はリーマン球面上の有限分岐被覆写像なので、その分岐点での分岐指数をうまく考慮すると、fのグラフにC^*環A値内積が入るのがポイントである。ヒルベルト双加群X_fからToeplitz-Pimsner環T_fとその商環であるCuntz-Pimsner O_fを構成できる。このようにして有理関数fに新しくC^*環O_fを対応させることができた。特にfが多項式の時でさえ、C^*環O_fの構造はほとんどわからない。fが2次以上の有理関数の時には、C^*環O_fはいつでも純無限の単純C^*環になることをすでに示した。今年度の研究では、有理関数fのジュリア集合が縮小写像族の自己相似集合として実現できる場合を手がかりとして、コンパクト集合上の縮小写像族によるフラクタル図形での類似を研究した。特にその開集合条件が対応するC^*環の純無限単純性を導くことを示した。またそのK群を計算し縮小写像族の言葉だけで書いた。テント写像やシェルピンスキーのギャスケットやコッホ曲線などの具体例についてもK群を計算したりそのtorsion要素を調べて、異なる縮小写像系が同じフラクタル図形を与えても、同型でないC^*環がでてくることがわかった。
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