スピンモデルと距離正則グラフに関する研究

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14540010
• Research Institution: Tokyo Medical and Dental University
• Principal Investigator: 野村 和正 東京医科歯科大学, 教養部, 教授 (40111645)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 清田 正夫 東京医科歯科大学, 教養部, 教授 (50214911)
• Keywords: スピンモデル / アソシエーションスキーム / Bose-Mesner 代数 / 距離正則グラフ / 1-homogeneous / Terwilliger 代数

Research Abstract

この研究の目標はスピンモデルを持つBose-Mesner代数(アソシエーションスキーム)の性質を調べることにある。本研究で得られた成果は下記の5点である。
(1)スピンモデルを持つようなBose-Mesner代数は「超自己双対的(strongly hyper-self-dual) 」と呼ばれる強い性質を持つことを示した。これまでは、単なる自己双対性だけが知られていたが、これにより、スピンモデルを持つBose-Mesner代数の候補を絞ることができるようになった。
(2)距離正則グラフ上のスピンモデルは、その距離正則グラフのモジュラー不変方程式の解から構成されていることが知られているが、その実数解の性質を調べることで、解の範囲を狭めることができた。
(3)非対称スピンモデルの分類では指数が重要な役割を果たすが、その第一のステップとして、指数2のスピンモデルを調べることが重要である。本研究では指数2のスピンモデルの代表的なものとして知られる非対称アダマールモデルの特徴づけを行った。これにより、クラスの小さなアソシエーションスキーム上のスピンモデルの分類が現実的となった。
(4)スピンモデルを持つ距離正則グラフは1-homogeneousと呼ばれる性質を持つであろうということは数年前から予想されていたが、本研究では、この予想が正しいことを示した。なお、1-homogeneousという概念は、筆者がスピンモデルの研究を始めるよりも前に導入した概念である。
(5)1-mogenousな距離正則グラフの代数的な特徴づけに成功した。実際、1-homogeneousという性質を、グラフのTerwilliger代数の規約表現で特徴づけることができた。

Research Products

• [Publications] Kazumasa Nomura: "Spin models of index 2 and Hadmard models"Journal of Algebraic Combinatorics. 17. 5-17 (2003)
• [Publications] Brian Curtin, Kazumasa Nomura: "Homogeneity of a distance-regular graph which supports a spin model"Journal of Algebraic Combinatorics. to appear.