正標数の特異点上のブローアップ代数の環論的性質について

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14540020
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 吉田 健一 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助手 (80240802)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 渡辺 敬一 日本大学, 文理学部, 教授 (10087083) ; 橋本 光靖 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (10208465) ; 岡田 聡一 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (20224016)
• Keywords: F正則性 / F有理性 / 密着閉包 / フロベニウス写像 / ブローアップ / Rees環 / 重複度

Research Abstract

研究代表者は昨年度の調査において、東北大学の原伸生氏との共同研究を通じて、密着閉包の概念を一般化し、自然に構成されるテストイデアルの概念が、乗数イデアル(multiplier ideal)の正標数での類似物であることを示した。今年度はこの調査を継続し、subadditivity, restrictionなどの重要な定理の正標数における証明などを得た。また、2次元の有理2重点に注日し、極大イデアルに付随するイデアルJに対して、そのRees環がF有理になることと、Jの乗数イデアルとJから作られる一般化されたテストイデアルが一致することが同値であることを示した。
Rees環の可換環論における研究は、国内では特に盛んであるが、特異点という観点からの研究成果はあまり知られていないようである。我々は代表者を中心に、Rees環の局所コホモロジーのフロベニウス射の作用を調べ、tight integral closureの概念を用いて、F有理性の判定法を与えた。応用としては、Cohen-Macaulay正規整域であるがF有理でない例の構成、逆にF有理なRees環の例を豊富に提供することができた。特に、F有理性に関するブトー型定理の反例を容易に構成することができるようになった。
Hilbert-Kunz重複度に関する研究成果としては、Rees環のHilbert-Kunz重複度の基本となる環の不変量(重複度、Hilbert-Kunz重複度)を用いた評価を得ることに成功した。また、Segre埋め込みの斉次座標環のHilbert-Kunz重複度の計算方法を広範囲の環に適用し、興味深い例を構成した。
以上の成果は、国内の可換環論シンポジウムや学会などを通じて発表した。

Research Products

• [Publications] N.Hara, K.Yoshida: "A generalization of tight closure and multiplier ideals"Trans.Amer.Math.Soc.. 355. 3143-3174 (2003)
• [Publications] K.Eto, K.Yoshida: "Notes on Hilbert-Kunz multiplicity of Rees algebras"Comm.Alg.. 31. 5943-5976 (2003)
• [Publications] K.-i.Watanabe, K.Yoshida: "Minimal relative Hilbert-Kunz multiplicity"Illinois J.Math.. (in press).
• [Publications] M.Hashimoto: ""Geometric quotients are algebraic schemes" based on Fogarty's idea"J.Math.Kyoto Univ.. (in press).