クリスタル基底の組合せ論的研究と離散可積分系への応用

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14540026
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 尾角 正人 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 助教授 (70221843)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 国場 敦夫 東京大学, 大学院・総合文化研究科, 助教授 (70211886) ; 永井 敦 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 助手 (90304039) ; 小川 知之 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 助教授 (80211811)
• Keywords: 量子群 / 可積分系 / ヤン・バクスター方程式 / セルオートマトン

Research Abstract

研究課題に関連する研究で我々は今年度次のような成果を得た。
1.幾何クリスタル
ごく最近BerensteinとKazhdanによって公理的に導入された幾何クリスタルをカッツ・ムーディーリー環のタイプがD^<(1)>_n型の場合に具体的に構成した。また、この幾何クリスタルβの行列実現を用いて、積β×β上で幾何クリスタルの作用と交換する双有理写像(トロピカルR)を明示的に構成し、それがヤン・バクスター方程式を満たすことを示した。このトロピカルRの超離散極限をとることによりD^<(1)>_n型KKMクリスタルの組合せRの区分線形表式を得た。この内容は既に論文にまとめ現在投稿中である。その後、リー環のタイプがA^<(1)>_n型の場合に研究を進めている。
2.D^(1)_n型トロピカルRの双線形化
1で得られたD^(1)_n型トロピカルRがある離散双線形方程式系と同値であることを示した。また、この方程式系がD型古典ソリトン方程式のタウ関数による解をもつことも見いだした。我々はこの研究がソリトンセルオートマトンと離散可積分系を系統的に結びつけるきっかけになると期待している。

Research Products

• [Publications] M.Okado et al.: "A Tensor Product Theorem related to Perfect Crystals"Journal of Algebra. (印刷中).
• [Publications] A.Kuniba et al.: "Difference L operators related to q-characters"J. Phys. A : Math. Gen. 35. 1415-1435 (2002)
• [Publications] M.Okado et al.: "Virtual crystals and fermionic formulas of…"Representation Theory. 7. 101-163 (2003)
• [Publications] G.Hatayama et al.: "Paths, Crystals and Fermionic Formulae"Prog. in Math. Phys.. 23. 205-272 (2002)
• [Publications] G.Hatayama et al.: "Scattering rules in soliton cellular automata…"Contemporary Mathematics. 297. 151-182 (2002)
• [Publications] A.Kuniba et al.: "The canonical solutions of the Q-systems…"Commun. Math. Phys.. 227. 155-190 (2002)