3次元射影空間内のインテグラルカーブのベーシックシークエンスの研究

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14540029
• Research Institution: Hiroshima University
• Principal Investigator: 尼崎 睦実 広島大学, 大学院・教育学研究科, 助教授 (10243536)
• Keywords: インテグラルカーブ / ベーシックシークエンス / 連結性 / integral curve / basic sequence / connectedness / generic initial

Research Abstract

Iを無限体k上の多項式環R=k[y_1,...,y_n]の斉次イデアルとし、パラメーターζ_<ij>(1【less than or equal】i【less than or equal】n,1【less than or equal】j【less than or equal】n)をとって、斉次変数z_1,...,z_nを、y_i=Σ^n_<j=1>ζ_<ji>Z_j(1【less than or equal】i【less than or equal】n)をみたすようにとる。以下、k[ζ_<ij>;1【less than or equal】i【less than or equal】n,1【less than or equal】j【less than or equal】n]の商体をK、R_K:=K[y_1,...,y_n]、I_K:=IR_Kとおく。一般に、K[z_1,...,z_i]の斉次イデアルI^^~に対してI^^~|_<z_j>=...=_<z_i>=0:=K[z_1,...,z_<j-1>]∩(I^^~+(z_j,...,z_i))とおく。Iの高さは2以上であるとし{in^z(f^^~)|f^^~はI_kの斉次の元}で生成されるイデアルをin^z(I_K)とおく。さらにl=1,2,...に対して
【numerical formula】
とおく。このJ_kのベーシックシークエンスを(s_l;v_1(l),...,v_<sl>(l))とすると次のことがわかる。もしJ_kが次数s_lの斉次既約多項式を含めば、v_1(l),...,v_<sl>(l)は連結である。この系として次のことがわかる。もしIの元の最小次数aに対しIが次数aの斉次既約多項式を含めば、s_l=aとなる全てのlに対してv_1(l),...,v_<sl>(l)は連結である。このようにして、Cookによって主張されたがまだ証明が完全でない連結性定理に対するある特別な場合の証明を与えたことになる。これはまた、Decker-Schreierが証明を与えた場合を含んでいる(彼らの証明も不完全のようである)。