異なる幾何構造の間のツイスター対応と微分方程式,場の理論などへの応用

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14540097
• Research Institution: Numazu National College of Technology
• Principal Investigator: 待田 芳徳 沼津工業高等専門学校, 教養科, 助教授 (90141895)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 佐藤 肇 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (30011612)
• Keywords: ツイスター理論 / グルサー方程式 / モンジュ・アンペール方程式 / 超幾何方程式 / ラプラス方程式 / 半平坦部分接続 / 双曲構造 / 非可換性

Research Abstract

ツイスター理論の本質を、異なった幾何構造の間のお互いに付随した微分式系の解空間の構造の双対性としてとらえ、微分方程式、場の理論などに応用していく。
1.(1)Goursat方程式は、単独2階偏微分方程式で、放物型でMonge系が可積分なものをいう。ツイスター理論的に解釈して、有限型をA型、BD型、例外型に分類して、正規Cartan接続の曲率を不変量として局所同値問題を考えた。
1.(2)Hessian=定数をintrinsicに拡張したLagrange対をもつMonge-Ampere方程式を定義し、その性質や大域解、特異解を調べた。双対性は、シンプレクティックな場合、ミラー理論とも関係してくる。
2.(1)Gelfandの超幾何方程式系をツイスター理論的に解釈して、2次形式又はシンプレクティック形式をもつベクトル空間からできるいろいろなダブル・ファイバリングを通して第2種旗空間上の新しい超幾何方程式系を構成した。
2.(2)(1)で構成したものを、非可換ゲージ場へ拡張する。即ち、非可積分分布に沿った半平坦な部分接続(一般化されたインスタントン)を構成した。以上は、複素カテゴリーだが、実カテゴリーでコンパクト大域的な議論をやりたい。
3.(1)超弦理論でのAdS/CFT対応の一断面として、インスタントン・モジュライ空間とその上の双曲構造が考えられる。2の立場で、7、5次元球面の部分インスタントンのモジュライ空間が四元2次元、複素3次元双曲空間かを考えた。
3.(2)R^4でのLaplace方程式とU(1)インスタントンの有限解は特異性をもつが、定義空間をblow-upするのではなく、非可換性を課すことによって、なめらかな有限解を構成した。超弦理論での時空の非可換性に応用がある。