2004 Fiscal Year Annual Research Report
随伴変分法による楕円型方程式の境界値逆問題の直接的数値解法
| Project/Area Number |
14540099
|
|---|
| Research Institution | Ibaraki University |
|---|
Principal Investigator |
大西 和榮 茨城大学, 理学部, 教授 (20078554)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
代田 健二 茨城大学, 理学部, 助手 (90302322)
中村 玄 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (50118535)
|
|---|
| Keywords | 偏微分方程式 / 逆問題 / 変分法 / コーシー問題 / 係数同定問題 / 随伴問題 / 任意多点差分法 / 多倍長計算 |
|---|
| Research Abstract |
境界値逆問題に直接適用可能な新しい近似解法、すなわち任意多点差分法を発展させ、典型的な楕円型方程式であるラプラス・ポワッソン方程式の境界値逆問題に対して適用した。ここに、任意多点法とは従来の差分法における参照点を任意の位置に数多く取ることが出来るように、指数関数を基底関数として拡張した擬似スペクトル法であり、数十次数の高精度の近似が簡単に期待できる反面、係数行列の条件数が高くなる。高い条件数に対処するために、計算桁数を十分に多くとる必要が生じる。円環領域でのラプラス方程式に対するコーシー問題で数値的に検証した結果、実際に18次の差分公式を容易に構築でき、10進法200桁計算を用いることにより、丸め誤差の影響を受けない高精度の数値解を得ることができた。境界上に与えられたデータに誤差が含まれる場合の正則化法についても、この新しい擬似スペクトル法では特段の対処法は必要ないことがわかった。
次に、典型的な楕円型方程式に対して前年度までに開発した随伴変分法を双曲型方程式の係数同定逆問題に適用した。具体的には、線形弾性波動場におけるラメ係数同定間題に対する数値再構成アルゴリズムの開発を行った.対象問題を数値的に解く手法としては,随伴変分法を採用した,元の問題を2変数汎関数の制約条件付き最小化問題に帰着させ,勾配法およびペナルティ関数法により最小化関数を探索する反復アルゴリズムを構築した.開発したアルゴリズムについて数値実験を行い,手法の有効性を示した.
|
