退化楕円型方程式の特異解の構造の研究

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14540151
• Research Institution: Ibaraki University
• Principal Investigator: 堀内 利郎 茨城大学, 理学部, 教授 (80157057)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 安藤 広 茨城大学, 理学部, 助手 (60292471) ; 下村 勝孝 茨城大学, 理学部, 助教授 (00201559) ; 大西 和榮 茨城大学, 理学部, 教授 (20078554) ; 佐藤 得志 東北大学, 大学院・理学研究科, 助手 (00261545) ; 中井 英一 大阪教育大学, 教育学部, 助教授 (60259900)
• Keywords: 退化楕円型方程式n / 特異解 / P-調和作用素 / 非線形楕円型方程式 / 最小解 / ハーディーの不等式

Research Abstract

本研究の目的は,領域の内部や境界で様々に退化する楕円型作用素に関する諸問題を,特に最近重要と考えられている特異解の構造に焦点を当てて,研究分担者が各自の専門分野間の有機的関係を深めながら,新しい進展を目指して総合的な共同研究を行うことにある.本年度には以下の成果があった。
1.退化楕円型方程式の特異解の研究
昨年度に引き続き主要部がP調和作用素を含む準線形退化楕円型方程式において、右辺に強い非線形項を持つ場合における特異解の存在性やその性質が詳しく研究された.特に特異解において線型化された(退化楕円型)作用素の解析が行われ、最小固有値の非負性とハーディー型不等式との間係などが研究された。また、半線形方程式の大域的最小解の構造が調べられた。さらにそれらのパーターベーションに対する安定が詳しく調べられた。
2.領域で内部退化をする楕円型方程式の解の正則性の研究
有界関数なソボレフ関数の範疇で補間理論を再構築し実解析的な手法で解のなめらかさがある程度調べられた。特に、吸収項を持ち純粋に退化する作用素に関する解の正則性が詳しく研究された。
3.特異解をもつ変分問題の構造の研究
ラプラシアン型のハーディ型の不等式の精密化問題が研究された。この結果、特異なポテンシャルを持つp-重調和作用素について多くの情報が得られた。
4.退化楕円型作用素の特異解のポテンシャル論的研究
昨年に引き続き、多重放物型作用素が平均値の性質を中心に研究された。また行列空間上の様々な作用素の基本解が研究され、特に積多様体上でホイヘンスの原理が研究された。

Research Products

• [Publications] 堀内利郎: "Missing terms in generalized Hardy inequalities and its application"Journal Math.Kyoto Univ.. 43-2. 235-260 (2003)
• [Publications] 堀内利郎: "On the minimal solution for quasilinear degenerate elliptic equation and its blow-up"Journal Math.Kyoto Univ.. (To appear). (2004)
• [Publications] 下村勝孝: "Caloric morphisms with respect to radial metrics on R^n＼{O}"Math.J.Ibaraki Univ., 35.. 35. 35-53 (2003)
• [Publications] 下村勝孝: "A characterization of caloric morphisms between manifolds"Ann.Acad.Sci.Fenn.Math.. 28. 111-122 (2003)
• [Publications] 大西和榮: "Direct numerical identification of boundary values in the Laplace equation"Journal of Computational and Applied Mathematics. 152-1-2. 161-174 (2003)
• [Publications] 山上滋: "$C＼sp *$-tensor categories and free product bimodules"Journal of Functional Analysis. 197. 323-346 (2003)