2003 Fiscal Year Annual Research Report
符号理論への応用を視野に入れた超幾何微分方程式の研究
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14540153
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
志賀 弘典 千葉大学, 大学院・自然科学研究科, 教授 (90009605)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
北詰 正顕 千葉大学, 理学部, 教授 (60204898)
筒井 亨 千葉大学, 理学部, 講師 (00197732)
松田 茂樹 千葉大学, 理学部, 助教授 (90272301)
杉山 健一 千葉大学, 理学部, 助教授 (90206441)
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| Keywords | フックス型微分方程式 / 超幾何微分方程式 / モノドロミー群 / アンドレ、オールト予想 / ピカール曲線 / 数論的不連続群 / 符号理論 / 暗号システム |
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| Research Abstract |
(1)三角群をモノドロミー群とするフックス型微分方程式の研究。
ガウスの超幾何微分方程式のモノドロミー群はある条件のもとでポアンカレ計量をもつ上半平面に作用する三角群である。また、ガウス超幾何関数の代数点での値がいつ代数的になるかは80年代から数論家の懸案になっている問題である。本プロジェクトでは、一般に三角群をモノドロミー群とするフックス型微分方程式(これは当然上記のガウス超幾何を含むが)をパラメータ付きのシステムとして決定し、このとき生じる"みかけの特異点"とパラメータとの対応を解析した。また、このシステムに対してシュワルツ写像による像が一般の予想に反して稀にしか代数値をとらないことを明らかにした。
これは、フランクフルト大学J.Wolfart教授および共同研究者筒井亨氏と研究代表者による共同研究の成果である。
(2)虚数乗法をもつピカール曲線の研究。
位数3の解析的自己同型を有する種数3の代数曲線をピカール曲線という。この曲線たちは2つのパラメータで決定され、その積分周期はアッペル型超幾何微分方程式を満たす。一方、整数環上定義されたピカール曲線を有限体に還元してその上の有理点が符号理論に利用され、極めて信頼度の高い符号システムを構築するものとして注目されている。その際虚数乗法をもつ曲線が必要であるが、現在ドイツEssen大学Annegrete Weng女史(同氏は昨春千葉大学を訪問して、代表者と討議を行った)による実験的結果以外にそれを見出す一般的な手段が知られていない。
代表者の80年代の研究がこの方面での大きな手がかりになると予想され、現在研究が進展中である。
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