双曲系の初期値問題の適切性及び近似解法に関する研究

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14540175
• Research Institution: Okayama University
• Principal Investigator: 田中 直樹 岡山大学, 大学院・自然科学研究科, 助教授 (00207119)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 佐藤 亮太郎 岡山大学, 大学院・自然科学研究科, 教授 (50077913) ; 松本 敏隆 広島大学, 大学院・理学研究科, 助手 (20229561) ; 小林 良和 新潟大学, 工学部, 教授 (80092691) ; 勝田 篤 岡山大学, 理学部, 助教授 (60183779) ; 實方 宣洋 岡山大学, 教育学部, 教授 (70033355)
• Keywords: semigroup of Lipschite operators / infinitesimal generators / generation theorem / conservation laws / Templ type / Riemann problem / wave front tracking solution

Research Abstract

1.保存則系の初期値問題の弱解の一意性の問題に関する研究:この問題は,長い間未解決であった。近年,リプシッツ作用素半群が本質的な役割を演じ,1つの答えが与えられた。それとは違った次のような方向性で,この問題を考察した。2×2の保存則系の初期値問題に対する時間局所的な古典解が満たす,単独1方程式の場合によく知られたKruzhkovのエントロピー条件に相当する不等式を導出した。この不等式を{もとに,2×2の保存則系の初期値問題に対する弱解の意性の問題に取り組んだ。その結果,Templeタイプと呼ばれる2×2の保存則系の初期値問題について,意性が成立する弱解のクラスを導入することができ,そのクラスの弱解の存在と一意性定理を導出することに成功した。
2.局所リプシッツ作用素半群の理論の構築に関する研究:二乗可積分な空間を基礎空間とするとき,Kirchhoff方程式を支配している微分作用素は,real analyticな集合から基礎空間への作用素と考えて,局所的に連続となる。この事実をもとに,無限小生成作用素が局所的に連続であるようなリプシッツ作用素半群の理論を構築することを試みた。ここでは,局所的に連続な作用素が,局所的な意味で「非負なリプシッツ連続汎関数を用いて表現される消散条件」と「接線条件」を満たすならば,局所リプシッツ作用素半群を生成するという事実を示した。
3.双曲系の初期値問題の近似解法に関する研究:時間に依存する退化双曲型方程式の初期値問題の解を,数値解析的に求めようとするときに生じる問題を,regularized evolution operatorの近似の問題へと位相解析的に定式化した。近似の問題を考察するときに重要となる概念に,「安定性」の概念がある。'ここでは,よく知られた加藤による安定性を改良し,regularized evolution operatorの近似理論を展開した。

Research Products

• [Publications] Yoshikazu Kobayashi: "Semigroups of locally Lipschitz operators"Math.J.Okayama Univ.. 44. 155-170 (2002)
• [Publications] Naoki Tanaka: "Perturbation theorems of Miyadera types for locally Lipschitz continuous integrated semigroups"Studia Math.. (in press).
• [Publications] Naoki Tanaka: "Approximation of regularized evolution operators"Arch Math.. (in press).
• [Publications] Naoki Tanaka: "A class of weak solutions for conservation laws of Temple type"数理解析研究所講究録. (印刷中).