Kirchhoff型偏微分方程式の時間大域解に関する研究

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14540188
• Research Institution: Tokyo University of Science
• Principal Investigator: 山崎 多恵子 東京理科大学, 理工学部, 助教授 (60220315)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 立川 篤 東京理科大学, 理工学部, 教授 (50188257) ; 岡 正俊 東京理科大学, 理工学部, 教授 (70120178) ; 小林 嶺道 東京理科大学, 理工学部, 教授 (70120186) ; 松田 真美 東京理科大学, 理工学部, 助手 (90339127) ; 牛島 健夫 東京理科大学, 理工学部, 講師 (30339113)
• Keywords: Kirchhoff方程式 / 消散項 / 外力 / 大域的可解性 / スペクトラル分解

Research Abstract

消散項と外力を持つKirchhoff型準線型双曲型方程式を考える.
初期値が小さいときの上の方程式の初期値問題に対する有界な大域解の一意存在は、自己共役作用素のスペクトラムの下限が0の場合は外力のあるノルムの時間に関する積分が小さいときに山田義雄氏により、下限が正の場合は外力のあるノルムの時間に関する上限が小さい時に代表者により示されている。
スペクトラムの下限と外力の関係に注目し、外力のスペクトラムの下限に反比例する一定幅の区間上での時間に関する積分値の上限が小さい時に、大域解の一意存在を示した。とくにスペクトラムの下限が0の時の積分区間幅は無限大であるから、上記の両者の結果を統一的にとらえた拡張が得られた。
さらに、初期値の微分可能性についても弱めた。
証明は以下の通りである。
微分可能性の弱い初期データがに対する一意局所解の存在については、消散項及び外力のない場合に示したArosio-Garavardiの方法を、この場合にも適用し得た。
中心になるのは解のア・プリオリ評価である。まず、元の自己共役作用素から作られるある時間に依存する作用素を定義する。ついで、解を自己共役作用素のスペクトルに関する区間に分割し、消散効果を用いて、各成分ごとのエネルギーを、外力にこの作用素を作用させたもののノルムので押さえる。この結果における、外力にこの作用素を作用させたもののノルムを、積分区間幅を変化させることにより新しい作用素を用いない評価におきかえて、先に述べた結果が得られた。

Research Products

• [Publications] Taeko Yamazaki: "Sufficient conditions on the forcing terms for the global solvability of dissipative Kirchhoff equations"Nonlinear Analysis. 51-6. 969-982 (2002)
• [Publications] Kazumine Moriyasu, Masatoshi Oka: "Differentiable maps having the informly shadowing property"Topology and its applications. 122-(1-2). 377-396 (2002)
• [Publications] Reido Kobayashi, Masayuki Tamura: "Soliton solution of the KdV equation and Crum's theorem"Advances in Mathematical Sciences and Applications. 12-2. 779-784 (2002)
• [Publications] Mami Matsuda, Sadao Miyatake: "Bifurcation analysis of Kolmogorov flows"Tohoku Mathematical Journal. 54-3. 329-365 (2002)
• [Publications] Mami Matsuda: "Bifurcation of the Kolmogorov flow with an external friction"Tsukuba Journal of Mathematics. (掲載予定).