作用素環上の非可換解析と自由確率論に関する研究

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14540198
• Research Institution: Tohoku University
• Principal Investigator: 日合 文雄 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (30092571)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 山上 滋 茨城大学, 理学部, 教授 (90175654) ; 尾畑 伸明 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (10169360) ; 浦川 肇 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (50022679) ; 植田 好道 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助教授 (00314724)
• Keywords: 作用素 / 作用素環 / 自由確率論 / ランダム行列 / 自由エントロピー / 大偏差原理 / ユニタリ不変ノルム / 作用素単調関数

Research Abstract

Hilbert空間上の作用素論・作用素環論およびそれらの非可換確率論への応用を研究した.近年D.Voiculescuが開拓した自由確率論は,非可換確率論の一つとして大きな発展を遂げている.これに関連して,ランダム行列に対する大偏差原理や自由相対エントロピーについて研究した.自由積の手法を用いて,(補間型)自由群環上の自己同型について研究した.また,作用素の平均に対するノルム不等式について研究し,作用素の算術・幾何平均ノルム不等式を拡張した一連の不等式を示した.最近の成果として,(1)Zhan氏との共同研究で行列の作用素単調関数とユニタリ不変ノルムに対して成立する新しいノルム不等式を示した.また,これと関連して,行列のヘルダー型ノルム不等式およびミンコフスキー型ノルム不等式を与えた.
(2)自由エントロピーを2変数に拡張した自由相対エントロピーを考察した.2重対数積分による表示を行列近似による表示の2通りの定義を与え,それらの同一性をランダム行列の標本固有値分布に関する大偏差原理を用いて示した.さらに,自由相対エントロピーを使って,コンパクト台をもつ確率測度に対する摂動理論を構築した.
(3)植田好道氏との共同研究で,自由積の手法を用いて,(補間型)自由群環上にaperiodicな自己同型が連続無限個存在することをて示し,その接合積の性質を解明した.さらに,自由積作用と自由シフト作用の双対的な関係を明らかにした.
(4)幸崎秀樹氏との共同研究で,2重積分変換の理論とシューアmultiplierの方法を用いて,作用素のユニタリ不変ノルムに関する算術-幾何平均不等式を精密化したノルム不等式を与えた.さらに,算術平均,対数平均,幾何平均,調和平均およびそれらを自然に補間する各種の平均を比較する多くのノルム不等式を求めた.

Research Products

• [Publications] F.Hiai: "Inequalities involving unitarily invariant norms and operator monotone functions"Linear Algebra Appl.. 341. 151-169 (2002)
• [Publications] F.Hiai: "Free relative entropy for measures and a corresponding perturbation theory"J. Math. Soc. Japan. 54. 679-718 (2002)
• [Publications] F.Hiai: "Free relative entropy and q-deformation theory"
• [Publications] F.Hiai: "Automorphisms of free product-type and their crossed products"J. Operator Theory. (印刷中).
• [Publications] F.Hiai: "q-deformed Araki-Woods algebras"Proc. of the Operator Algebras and Mathematical Physics. (印刷中).
• [Publications] F.Hiai: "Means of Hilbert Space Operators(Lecture Notes in Math!)"Springer-Verlag.