フィンスラー多様体への調和写像とハーツホーン予想の証明

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14654011
• Research Institution: Tohoku University
• Principal Investigator: 西川 青季 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (60004488)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 立川 篤 東京理科大学, 理工学部, 助教授 (50188257) ; 石田 正典 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (30124548)
• Keywords: 調和写像 / フィンスラー計量 / ハーツホーン予想

Research Abstract

1970年にR.Hartshorneは「豊富な接束をもつ非特異既約射影多様体は射影空間に同型である」という予想を提出し,この予想は1979年に森重文氏により,代数幾何学的手法を用いて証明された.一方,1975年に小林昭七氏は「コンパクト複素多様体上の正則ベクトル束が豊富になることと,その双対束が負曲率をもつ擬凸な複素フィンスラー計量を許容することは同値である」ことを証明した.本研究の目標は,この小林氏の結果を手懸かりに,コンパクト複素多様体に対するハーツホーン予想を,フィンスラー幾何学のカテゴリーで,微分幾何学的手法により証明することである。
小林氏と落合氏による複素射影空間の特徴付けによれば,このような多様体上に,ある種の自明でない有利曲線が存在することを示せば,ハーツホーン予想を証明することができる.したがって,本研究の第一の目標は,一般の閉リーマン面から複素フィンスラー多様体への調和写像の理論を構築し,双対接束が負曲率かつ擬凸な複素フィンスラー計量を許容するコンパクト複素多様体に対して,非自明な有理曲線の存在を証明することである.
この問題に関して,本年度の研究で得た研究成果は次の通りである.
1.閉リーマン面から複素フィンスラー多様体への微分可能な写像に対して,閉リーマン面からリーマン多様体への写像に対するエネルギーの一般化となる,自然なエネルギー汎関数の定義を与えた.
2.複素フィンスラー多様体の擬凸な複素フィンスラー計量が,弱ケーラー条件とよばれる自然な条件をみたす場合に,1で定義したエネルギー汎関数の第1変分公式ならびに第2変分公式を求めた.
3.2で求めた第2変分公式を利用して,とくにリーマン球(種数0の閉リーマン面)から正曲率をもつ弱ケーラー複素フィンスラー多様体への,エネルギー最小な調和写像は正則あるいは反正則写像となることを証明した.

Research Products

• [Publications] Seiki Nishikawa: "Harmonic maps and homogeneous manifolds of negative curvature : An invitation to geometric analysis"Sugaku Expositions. 16・2. 177-190 (2003)
• [Publications] Seiki Nishikawa: "Harmonic maps in complex Finsler geometry"Geometric Variational Problems ; Bubbles, Scans and Geometric Flows. (発表予定). (2004)