| Research Abstract |
全空間と外部領域における非定常ナビエ・ストークス方程式の解の減衰度の評価と漸近形の導出を行った.全空間の場合には,従来展開してきた議論の大幅な簡略化と精密化に成功したので,それをまとめて発表した.外部領域での問題については,2次元平面及び3次元空間の物体の周囲の流れを考察の対象とし,この場合に知られていた評価をすべて改良し,ほぼ最良と思われる評価を得ることに成功した.評価は,得られた解の積分表示をフルに用い,様々な実解析の手法を援用して得られるが,その評価の副産物として,非定常流の無限遠方での可積分性とその流れが物体に及ぼす抗力の関係を明確にすることができた.特に,初期値問題の適切性がすでに確立されている2次元問題において,エネルギーが有限なすべての流れに対し,それが物体に及ぼす抗力がゼロになることが明らかになった.また3次元の場合,物体に働く抗力がゼロになるための速度場の減衰率に関する十分条件を導き,それをみたす解が十分多く存在することも証明した.抗力ゼロの流れについては,全空間の流れの場合と類似の形の漸近展開も与えることができた.これらの結果は二篇の論文にまとめられ,ひとつはすでに掲載され,今ひとつは掲載受理されている.さらにまた,抗力がゼロでない流れの場合にも,抗力を表現する項のみが可積分ではなく,それを引き去った剰余の部分が可積分になる,という形で,解の漸近形を表現することはできる.いずれの場合にも,可積分項は,熱核の導関数を用いて,時間-空間変数の相似形の関数で表される.この結果は,古典的なダランベールの逆理の粘性流体への拡張であるのみならず,より一般の非可積分な流れの漸近形がいわゆる自己相似解で表現されるであろうとの,従来からよく知られた予想にも著しい蓋然性を与えるものであり,また方法論的にもこの予想の解決に向けて何をやるべきかを示唆してくれる.この新しい課題に向けて,現在新たに研究を計画中である.
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