非線形微分方程式の超離散化と工学システム

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14655037
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 薩摩 順吉 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (70093242)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 時弘 哲治 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (10163966)
• Keywords: 可積分系 / 超離散化 / セルオートマトン / 離散力学系 / 差分方程式

Research Abstract

本研究は「超離散化の手法を用い、離散工学システムに対する微分方程式の解析手法の適用可能性を考察すること、および逆超離散化法を開発することにより、離散工学システムに対応する連続系を構成し、元のシステムに対して従来と異なる立場からの理解を図ること」を目的とし、それに関して本年度は以下の研究成果を得た。
1.周期的な超離散系について、解の基本周期を組み合わせ論的な手法によって厳密に決定するとともに、システムサイズを増加させたときの漸近的な評価を与えた。また、その漸近的評価がリーマン予想と深い関わりを持つという事実を見出した。これらの結果は完全離散系の代数構造解明に重要な貢献をすると同時に、代数学の他の分野にも少なからず影響を与えるものである。
2.1.で考察した周期的セルオートマトンが非自律離散KP方程式の超離散極限として得られることを示し、その結果を用いて、保存量を具体的に構成するアルゴリズムを与えた。また、それらの保存量とこれまで得られていた保存量の対応関係を明らかにした。この結果は完全離散系の対称性に関して新しい知見を与えるものである。
3.サインゴルドン方程式の超離散化を試み、新しい従属変数および変換パラメータを導入すればソリトン的な解を持つセルオートマトンが得られることを示した。また、連続版と超離散版サインゴルドン方程式の解の間に明確な関係があることを明らかにした。これらの結果については現在論文を投稿中である。

Research Products

• [Publications] D.Yoshihara: "Fundamental Cycle of a Periodic Box-Ball System"J.Phys.A. 36巻. 99-121 (2003)
• [Publications] J.Mada: "Asymptotic behavior of fundamental cycle of periodic box-ball systems"J.Phys.A. 36巻. 7251-7268 (2003)