2003 Fiscal Year Annual Research Report
アーベル多様体の退化とlog幾何,点のない空間概念
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14740007
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
中山 能力 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助手 (70272664)
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| Keywords | 対数的幾何学 / アーベル多様体 / モジュライ空間 / マンフォード・コンパクト化 / 佐武コンパクト化 / 混合ホッジ構造 |
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| Research Abstract |
当研究は代数log空間に概念の確立とそのアーベル多様体の退化理論への応用とを目ざすものであった。二年目となる今年度の大きな成果はすでに大部になりすぎている予稿の中から解析的な理論だけを分離し独立した論文として発表できる形に近付けられたことである。古典的な退化なしの場合と同様に、解析的な理論は多くの点で直感的であり、構想の要点が見やすい。また解析的な理論では偏極のない場合、すなわち複素輪体の退化やlogホッジ理論との等価性もともに扱うことが可能となる。梶原健氏、加藤和也氏との共著でまとめつつある上記論文の構成は次の通りである。
1.log複素輪体と(解析的な)logアーベル多様体の導入。これらはlog解析空間の圏上の、一般には表現可能でない関手として定義され、古典的な複素輪体及至アーベル多様対の退化族のある意味での極限のようなものであり、logの哲学により、あたかも退化していないかのようにふるまう。
2.臼井-加藤によるlogホッジ構造の混合版の導入。これは混合ホッジ構造の退化族とは何かというホッジ理論の基本問題に新しい答を提案しているとも見られる。
3.log複素輪体及至logアーベル多様体の圏と、重み-1のlogホッジ構造及至偏極付きlogホッジ構造の圏との同値性。後者はpureであるが証明には本質的に混合版を使用する。
4.古典的なアーベル多様体のモジュライのマンフォード・コンパクト化がlogアーベル多様体のfineモジュライであること、佐武コンパクト化がcourseモジュライであることの証明。前者は3により、加藤-臼井空間とも一致するので加藤-臼井の結果から出すことができる。
5.log複素輪体には固有模型がとれ、logアーベル多様体には射影模型がとれることの証明。
次年度は代数的な理論のまとめに進みたい。
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