ミラー対称性とグロモフ-ウイッテン不変量の導来圏の幾何学による研究

2004 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14740042
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 高橋 篤史 京都大学, 数理解析研究所, 助手 (50314290)
• Keywords: ミラー対称性 / グロモフ-ウイッテン不変量

Research Abstract

「ミラー対称性とグロモフ-ウィッテン不変量の導来圏の幾何学による研究」のため、本年度は、特異点に付随する三角圏による「平坦構造の理論」の記述、を中心に研究を行なってきた。とくに、ミラー対称性と弦双対性における「Dブレーン」の観点に注目し、次のような成果・知見を得た。
80年代中旬の特異点理論における「行列分解」のアイデアとともに、複素幾何学に対応する物理の統一的理解が急速に進んでいる。研究代表者は、特異点に対して純粋に組み合わせ論的または代数的に一般化ルート系を構成せよ、という齊藤恭司の問題に対して、物理的アイデアに基づいた圏論的手法により一般的な数学的解決法を示した。
とくに、A型の特異点から出発してある三角圏を具体的に構成し、その圏がA型のDynkin箙の表現の導来圏と三角圏として同値であることを証明した。
さらには、この三角圏の構成法で、Bridgeland氏による「安定性のモジュライ空間」の特別な1点(ランダウーギンツブルグ点と呼ばれる)が得られることも同時に示した。
現在この成果を学術論文としてまとめている。
ここで得られた成果は直ちに一般のADE特異点に応用できることがわかったので、現在研究を進めている。また特異点の変形理論を、圏の変形理論の立場から見直しを行なっている。これは「原始形式の理論」の持つ本質的な意味を理解するために必要な作業であり、将来的に重要な役割を果たすと考え、研究を続行中である。