結び目と三次元多様体の位相的性質の研究

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14740048
• Research Institution: Gakushuin University
• Principal Investigator: 平沢 美可三 学習院大学, 理学部, 助手 (00337908)
• Keywords: 二橋結び目 / 向き付け不能曲面 / 連分数展開 / SL(2,Z)表現 / 捻りアレクサンダー多項式 / モースノビコフ数 / ファイバー結び目

Research Abstract

二橋結び目について、それを境界にもつような、向き付け不可能曲面の最小数を決定するアルゴリズムを開発した。そのために、有理数について、その連分数展開の内、長さが最小のものを求めるアルゴリズムが必要であったが、モジュラー図を用いて、有理数に深さの概念を導入することで、これに成功した。そして、最短の展開は全てある限られた操作で移り合う事を示した。また上記の曲面は全て、あるコンウェイ図の上で自然に張った曲面に連続変形できることを示し、そのようなコンウェイ図を求める方法を与えた。
二橋結び目について、その補空間の基本群から、SL(2,Z)へのカノニカルな表現が存在するための必要十分条件を求めた。それは、二橋結び目を表す有理数の連分数展開についての記述で、アルゴリズムによって実行できる。さらにそのような表現が存在する場合には、それを用いて、二橋結び目の捻りアレクサンダー多項式を計算するプログラムをつくり、いくつか興味深い現象を発見した。
絡み目の補空間から、円周へのモースノビコフ写像の構成法をいくつか挙げ、いくつかのクラスの結び目について、そのモースノビコフ数を他の不変量(自由種数、ラッピング種数、階層ラッピング種数)らによって上から評価することに成功した。
一方、二橋結び目については、それらに、プレファイバー曲面と呼ばれる、よい性質をもつ曲面を常に張る事ができることを示し、結果として、そのモースノビコフ数が1であること、および、二橋結び目は一回の交点交換操作によってファイバー結び目にできることを示した。

Research Products

• [Publications] Mikami Hirasawa 他: "Determination of generalized horseshoe maps inducing all link types"Topology and its applications. 139(発表予定). 261-277 (2004)
• [Publications] Mikami Hirasawa 他: "Examaple of knots without minimal string Bennequin surfaces"The Asian Journal of Mathematics. 7(3)(発表予定). 1-11 (2003)