距離正則グラフの構造論

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14740072
• Research Institution: Osaka Kyoiku University
• Principal Investigator: 平木 彰 大阪教育大学, 教育学部, 助教授 (90294181)
• Keywords: 距離正則グラフ / regular near polygon / diameter bound / Associatial scheme

Research Abstract

代数的な組合せ構造をグラフに表現したものの多くは距離正則という強い正則性を満たしている。また、グラフの部分グラフと元の代数構造の部分構造の間には密接な関係がある。本研究では、距離正則グラフの部分構造を取り出し、そこから、距離正則グラフの構造を解き明していくことを最終目標としている。
本年度の研究は、大きく分けて次の2つのことを取り扱った。
(1)regular near polygonというクラスの距離正則グラフ
(2)部分構造の持つ性質をとりだす。
(1)k【greater than or equal】3を与えた時、「次数kである距離正則グラフは高々有限個しか存在しない。」という未解決の予想(坂内-伊藤予想)の解決を最終の目的としている。regular near polygonと呼ばれる距離正則グラフのクラスを対象とし、前述の坂内-伊藤予想が正しいことを示したいと考えている。
J.H.Koolen氏との共同研究によって、この問題に関する部分的な解決が得られ、また、全体的な解決への道筋が得られた。この全面的な解決へ向けて、現在も共同研究を継続している。
(2)距離正則グラフの研究は主にそれを表現した行列や、それが生成する代数の研究が中心であり、構造自体に踏み込んだ研究はあまりなされていない、本研究では、そこに踏み込んで新しい結果を求めたいと考えている。
基本点を連続的に動かすことによって、部分構造はどのようにふるまうか?というこれまでにはなかった手法の開発やある特殊な部分構造を数え上げる手法によってこれまでは知られていなかったいくつか強い条件が得られた。これらの精錬によって、より多くの結果が得られることが期待できる。

Research Products

• [Publications] Akira Hirari: "A characterization of the doubled Grassmann graphs, the doubled Odd graphs, and the Odd graphs by strongly closed subgraphs."European Journal of Combin. 24. 161-171 (2003)
• [Publications] Akira Hirari: "The number of columns (1,k-2,1) in the intersection array of a distance-regular graph"Graphs and Combinatorics. 19. 371-387 (2003)
• [Publications] Akira Hirari: "A distance-regular graph with bipartite geodetically closed subgraphs"European Journal of Combin. 24. 349-363 (2003)
• [Publications] A.Hirari, J.J.Koolen: "A Higman-Haemers inequality for thick regular near polygons"Journal of Algebraic Combinatorics.
• [Publications] A.Hirari, J.J.Koolen: "The regular near polygons of order (s,2)"Journal of Algebraic Combinatorics.