2014 Fiscal Year Annual Research Report
ポリオミノに付随する二項式イデアルの代数的及び組合せ論的探究
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14F04318
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
日比 孝之 大阪大学, 情報科学研究科, 教授 (80181113)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
QURESHI Ayesha 大阪大学, 情報科学研究科, 外国人特別研究員
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| Project Period (FY) |
2014-04-25 – 2016-03-31
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| Keywords | ポリオミノイデアル / 二項式イデアル / グレブナー基底 / イニシャルイデアル / トーリック環 / トーリックイデアル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成２６年度は、研究期間が４ヶ月であることから、研究の範囲を限定し、研究を推進した。単純なポリオミノに付随するポリオミノイデアルは、Koszul 二部グラフのトーリックイデアルと一致することが判明し、特に、そのようなポリオミノイデアルは素イデアルであり、二次二項式から成るグレブナー基底を持つ。平成２６年度は、cell の集合が長方形となるポリオミノの内部に一つの穴を持つポリオミノを研究の対象とし、それに付随するポリオミノイデアルが素イデアルであり、二次二項式から成るグレブナー基底を持つことを証明することを狙いとし、研究を展開した。
以下、平成２６年度の顕著な研究成果を列挙する。第１に、長方形からその内部に含まれる長方形を引き抜いたポリオミノに付随するポリオミノイデアルはトーリックイデアルであることを証明した。特に、そのようなポリオミノイデアルは素イデアルである。この研究は、特別研究員と修士課程の大学院生らとの共同研究として遂行され、大学院生の修士論文で詳細に議論されている。第２に、特別研究員と受け入れ研究者との共同研究から、長方形からその内部に含まれる単純なポリオミノを引き抜いたポリオミノに付随するポリオミノイデアルは素イデアルであり、二次二項式から成るグレブナー基底を持つことを証明することに成功した。但し、そのようなポリオミノイデアルがトーリックイデアルであるか否かは未解決である。第３に、長方形からその内部に含まれる長方形を引き抜いたポリオミノに付随するポリオミノイデアルによる剰余環が Gorenstein となるような条件を探す研究に着手し、計算機実験などから、部分的な結果と予想を得ている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
懸案の問題の部分的解決に成功した。
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| Strategy for Future Research Activity |
長方形からその内部に含まれる単純なポリオミノを引き抜いたポリオミノに付随するポリオミノイデアルがトーリックイデアルであることの証明に挑戦する。加えて、長方形からその内部に含まれる長方形を引き抜いたポリオミノに付随するポリオミノイデアルによる剰余環が Gorenstein となるような条件を探究する。
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