2014 Fiscal Year Annual Research Report
関数データ解析的アプローチによる代数的位相アンラップと信号処理問題への応用
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14J00920
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
北原 大地 東京工業大学, 大学院理工学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2014-04-25 – 2017-03-31
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| Keywords | 位相アンラップ / 関数データ解析 / スプライン関数 / 凸最適化 / 合成開口レーダ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
２次元の複素信号の観測データから，真の連続位相を推定する問題である「２次元位相アンラップ問題」に対し，研究代表者らの研究グループは1. 離散複素信号を表現する連続な複素関数を構成し，2. 代数的連続位相復元法を用いて対応する連続位相を厳密に計算する，という２段階の位相アンラップ法を提案している．
提案する位相アンラップ法の成功の肝は第１段階の連続な複素関数の構成であるため，今年度の主な研究計画は「実平面上で零点を持たない２次元複素関数の設計法を確立する」ことであった．研究代表者らのグループは，ある凸最適化問題の最適解を利用し，与えられたデータのアップサンプリングを行うことで，実平面上で零点を持たない２次元複素関数を高確率で設計する方法を確立した．これにより，従来の提案法のままでは一意に位相アンラップができなかった複雑な観測データに対しても，代数的連続位相復元法を用いて一意に位相アンラップが行えるようになった．この研究成果は信号処理シンポジウムやリモートセンシングシンポジウムで発表され，特にリモートセンシングシンポジウムでは「部会奨励賞」を受賞した．また信号処理シンポジウムではチュートリアル「二次元位相アンラップ問題の難しさと面白さ」も行った．
また研究代表者は２次元複素関数の設計には２次元のスプライン関数（２変数の区分的多項式）を使用しているが，このスプライン関数の研究をするうちに，スプライン関数を用いた確率密度関数の推定法も新たに開発することに成功した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当初の研究計画では，平成２６年度の間に「実平面上で零点を持たない２次元複素多項式の設計」を確立する予定であった．初めは理論的に零点を持たない多項式の係数の条件を解明しようと試みたが解決せず，代替案として観測データのアップサンプリングを行うことで２次元複素多項式の零点の発生を防ぐ手法を考案した．具体的には，データ整合性と連続位相のなめらかさ（２回微分の二乗和）をコストにした新しい凸最適化問題を設計し，その最適解を利用して理想的な観測データを生成する．このアップサンプリングされたデータに対し，提案している位相アンラップを適用することで，高確率で「零点を持たない２次元複素多項式の設計」が行えるようになった．これにより当初の研究計画はほぼクリアしていると考えられる．またこの研究成果がリモートセンシングシンポジウムでも認められ，「部会奨励賞」を受賞することができた．
さらには当初の研究計画とは別に，２変数複素関数の設計に用いた２次元のスプライン関数の研究も進み，スプライン関数の様々な性質を習得することができた．これによりスプライン関数を用いた確率密度関数の推定法も新たに開発することに成功した．具体的には，スプライン関数の正値性の十分条件と対象となる空間で積分すると１になるという条件を制約として，ヒストグラムとの整合性と関数全体の滑らかさをコストとし，凸最適化問題を設計する．そして，この凸最適化問題の最適解を求めることで，スプライン関数を用いて確率密度関数推定を最適に行えるようになった．
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは購入した合成開口レーダのデータを利用して，実データでも提案法が有効かどうかの検証を試みる．それと同時に，対処しなければならない問題として，データをアップサンプリングすることでデータ量が増え，結果として計算量が増えてしまっている問題が挙げられる．この問題に対して考えられる対策として，データを局所領域に分割し並列計算を行う方針がある．これにより，求まる解は最適解とは異なる近似解となるが，計算が非常に高速に行えるようになる．
さらにはエッジ検出などを用い，分割する局所領域の決定をしたり，最適化問題のコストに登場する重みの設計を行ったりするなどして，最適化問題自身もより精密に設計する必要がある．また合成開口レーダ以外にも，合成開口ソナー，MRI，GPSなど，位相アンラップが使われる様々な応用対象に応じて，最適化問題の設計方法も変更していく．
他にも，２変数複素関数を構成する際に使用している，２次元スプライン関数に関する研究もさらに推し進める．正値性や単調性に関する十分条件を一般のｎ変数の場合まで拡張し，複素数データの近似や確率密度関数以外のさまざまな特徴をもった関数を復元する手法を確立する．
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