2014 Fiscal Year Annual Research Report
ナヴィエ・ストークス方程式のための有限要素スキームの開発
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14J00964
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
内海 晋弥 早稲田大学, 基幹理工学研究科, 特別研究員(DC1)
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2014-04-25 – 2017-03-31
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| Keywords | ナヴィエ・ストークス方程式 / ラグランジュ・ガレルキン法 / 特性曲線有限要素法 / 有限要素法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題では，非圧縮粘性流体を記述するナヴィエ・ストークス方程式の数値計算を扱っている．特に，特性曲線有限要素スキームに重点を置いている．本スキームでは，物質微分項を流れに沿って離散化する．また，解くべき連立一次方程式の係数行列が対称になることが特長であるので，本手法は計算効率の面で優れている．
しかし，スキームがプログラムで実現可能かという点については問題がある．従来の特性曲線有限要素スキームは厳密解への収束性が証明されているが，その忠実な実装は困難である．厳密に実装できる特性曲線有限要素スキームの作成が報告者の研究課題の一つである．
本年度は，ナヴィエ・ストークス方程式のための数値積分を伴わない，真安定特性曲線スキームの作成を行った．特性曲線の近似に局所線形化流速場を用いることにより，厳密に実装することが可能である．さらに，P2/P1有限要素，すなわち，流速，圧力をそれぞれ連続な区分的2次多項式と1次多項式で近似する要素を用いたとき，従来のスキームと同じ精度の収束性の証明ができた．数学的な考察を行うと同時に，C言語による数値計算プログラムを作成し，数値実験を行った．特に，従来の数値積分を用いるスキームでは不安定であった，高レイノルズ数における安定な計算を実現することができた．数値結果については，解の成分の立体図や流線を描画し，可視化を行っている．
本スキームは計算効率の面で優れていて，現実的な計算に対して有効なものである．通常テスト問題として用いられる，正方形キャビティ問題での数値結果に加えて，三角形領域での数値結果を紹介した．従来から知られていた定常解とは異なる定常解を得ることができた．
これらの結果を日本応用数理学会，日本数学会，RIMS研究集会にて発表した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究目的であった，移流拡散方程式のための数値積分誤差を受けない特性曲線有限要素スキームの解析を完成させ，ナヴィエ・ストークス方程式のためのスキームの作成を達成したため．
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| Strategy for Future Research Activity |
現実的な問題に応用するためにはナヴィエ・ストークス方程式の3次元計算の実現が必要である．スキームに忠実なプログラムの作成のために，2つの四面体の交わりを判定・記述するアルゴリズムとデータ構造を整備する．
一方で，流速と圧力の近似に用いる有限要素と安定化項の組み合わせについても，計算効率と精度向上の面から比較検討を行う．
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