2015 Fiscal Year Annual Research Report
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14J01322
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
跡部 発 京都大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2014-04-25 – 2017-03-31
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| Keywords | Langlands 対応 / Gan-Gross-Prasad 予想 / テータリフト |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成27年度は、４つの課題に取り組んだ。以下、これらについて説明する。
一つ目はシンプレクティック群に対する局所 Gan-Gross-Prasad 予想の証明の簡略化である。Gan-Gross-Prasad 予想とは、研究の目的である、L-関数の特殊値と保型表現の周期を結びつける予想である。平成26年度には、この予想の局所版に取り組んだ。しかしながら、技術的な困難が多くあり、照明は非常に複雑なものであった。本年度は新しい手法を開発し、証明の簡略化に成功した。この新しい手法は最後の結果のような重要な結果を簡単に示すことができる革新的な手法である。
二つ目は p-進群に対する局所テータリフトの完全解明である。テータリフトとは大域的には、一つの保型表現から周期により別の保型表現を作る方法である。上記の結果により、局所 Gan-Gross-Prasad 予想は完成した。この予想の応用として、局所テータリフトを Langlands 対応により解釈することが可能になった。局所テータリフトが完全に解明されれば、周期とL-関数の特殊値との新たな関係が得られると期待される。
三つ目は直交群に対する対する Langlands 対応の構築である。Lanlands 予想とは一般には連結な群の表現の分類に関する予想であるが、一方で非連結な群の表現も自然に出てくる。本研究ではテータリフトの解明のため、非連結な群である直交群の Langlands 対応について議論した。
最後の研究結果はL-パケットの中の生成的な表現の一意性の別証明である。局所Gan-Gross-Prasad 予想の証明の新しい手法を用いると、L-パケットの中の生成的な表現の一意性の簡単な証明が得られた。これは特に L-関数などが表現を決定することを意味する重要な結果である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当該年度の結果により、局所 Gan-Gross-Prasad 予想は完成され、また、局所テータリフトも完全に解明された。これによって次年度には、大域的な問題、特に本研究の目的である保型表現の周期とL-関数の特殊値との関係を調べることができる。
また、現在はユニタリー群に対する宮脇リフトの構成を行っている。宮脇リフトとはテータリフトと同様、一つの保型表現から別の保型表現を周期を用いて構成する方法である。これはほとんどが完成している。これにより、L-関数の特殊値に関する新しい公式が得られることが期待される。
当該年度に得られた研究成果には、直交群の Langlands 対応やL-パケットの中の生成的な表現の一意性の別証明など、当初は予期していなかったものが多い。これをもって、当初の計画以上に進展していると評価する。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後はまずは、エルミート版の宮脇リフトの構成を完成させる。また、それのノルム公式を発見することを目指す。このノルム公式が、L-関数の特殊値と保型表現の周期との間の公式である。このためには数値計算が有効である。公式を発見した後はそれを証明しなければならない。この公式は相対跡公式の比較により証明できると思われる。相対跡公式とは、群の表現論的な不変量と幾何学的な不変量との間の公式である。ユニタリー群は一般線型群に幾何学的構造の類似が見られるため、それらの相対跡公式を比較することにより、表現を比較することが可能となる。
また、前年度に調べた局所テータリフトは p-進群の場合であり、それとは別に Lie 群の場合がある。テータリフトを大域的な問題に応用するためには、 Lie 群の場合での同様の結果が必要となるので、今後はこれにも取り組む。
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