2015 Fiscal Year Annual Research Report
自然現象を記述する偏微分方程式の解の漸近挙動に関する研究
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14J01884
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
池田 正弘 京都大学, 理学研究科, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2014-04-25 – 2017-03-31
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| Keywords | シュレディンガー方程式 / 解の分類 / 質量超臨界 / ディラックのデルタ関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、ディラックのデルタ関数をポテンシャルに持つ非線形シュレディンガー方程式の初期値問題について研究を行った。この問題はエネルギー空間において局所適切であることがよく知られている。さらに近年、線形ポテンシャルと非線形ポテンシャルがともに反発的に働く場合には、すべての解がエネルギー空間において漸近自由であることが、Banica-Viscigliaらによって示された。しかし、非線形ポテンシャルが集約的に働く場合には、この問題に対して爆発解と孤立波解の存在が知られており、先の結果が成立しないことが分かる。そこで、私は、戌亥氏と共同で、まず初期値の作用の値が孤立波解の作用の値よりも小さな範囲において、解の大域挙動を初期値により決定できないかどうかを研究した。そしてVirial等式と関連のある汎関数の初期値における正負により解の大域挙動が散乱か爆発のどちらになるかを決定することに成功した。さらに初期値が偶関数である場合には、初期値の作用の値が孤立波解の作用の値よりも、大きな範囲まで同種の結果を示すことに成功した。これは線形ポテンシャルがない場合と存在する場合とでは結果に違いが現れることを表している。この結果は日本数学会の年会で口頭発表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ディラックのデルタ関数をポテンシャルに持つ非線形シュレディンガー方程式の初期値問題について研究を行い、Virial等式と関連のある汎関数の初期値における正負により解の大域挙動が散乱か爆発のどちらになるかを決定することに成功した。さらに初期値が偶関数である場合には、初期値の作用の値が孤立波解の作用の値よりも、大きな範囲まで同種の結果を示すことに成功した。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は初期値の作用の値が本年度の研究に現れた最小化問題の値と等しい状況の解の大域挙動の研究を行う。
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Research Products
(7 results)
