2014 Fiscal Year Annual Research Report
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14J10187
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
大久保 勇輔 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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2014-04-25 – 2017-03-31
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| Keywords | 共形場理論 / ゲージ理論 / AGT予想 / Macdonald多項式 / Jack多項式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
超弦理論から現れる双対性の一つであるAGT予想に関する研究を行った。AGT予想とは２次元共形場理論のVirasoro共形ブロックと４次超対称ゲージ理論のインスタントン分配関数が一致するという予想であり、現在のところ未だ完全な証明は得られていない。またq変形版のAGT予想もあり、その場合は変形Virasoro/W代数と５次元超対称ゲージ理論が対応することが知られている。AGT予想によって示唆されることの１つとして、共形場理論を構築するHilbert空間上に「良い基底」が存在するということがあげられる。その「良い基底」で共形ブロックを展開すると、相関関数を組合せ論的に綺麗に計算することができる。５次元版のAGT予想ではその「良い基底」はDing-Iohara代数の表現空間上で取ることができ、一般化されたMacdonald多項式で表せることが知られている。
本年度は特にその一般化Macdonald多項式のパラメータqを1にとばす極限が、独立に作られたMorozov-Smirnovの一般化Jack多項式に一致していることを発見し、一般化Jack多項式の直交性に関する正当性を与えた。Morozov-Smirnovは一般化Jack多項式を用いて４次元版のAGT予想に証明（未完成）を与えているが、上述した直交性はその証明の中で用いられる必要な条件である。また、通常の量子群の結晶基底に相当するAGT予想、つまりパラメータqの0への極限についても考察し、この極限のうえで最も簡単な場合の５次元AGT予想の証明を与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究はおおむね順調に進展している。パラメータqの0極限での証明は受入研究者から有益な助言をいただくことができたので可能となった。また難しい問題に直面し、研究が遅れたこともあったが、何日も夜通し研究を行ったので遅れを取り戻すことができたと思う。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後も５次元AGT予想のパラメータの様々な値への極限を考察する。特に変形Virasoro代数のパラメータqを-1にとばす極限では超対称Virasoro代数が現れることが知られているが、今後はこの方向への５次元AGT予想の極限も調べる。また引き続きパラメータqの0への極限についても、より一般的で複雑なAGT予想でどのような振る舞いをするかを考察する。
このようにパラメータの特殊値を考えることによって、証明が可能になるかどうかや、特殊なことが起こるかどうかを調べ、パラメータが一般の場合における研究の基礎付けを行う。
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