2004 Fiscal Year Annual Research Report
種々の代数構造に現れる分解計算の計算機上での実現の研究
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15340011
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
横山 和弘 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (30333454)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
野呂 正行 神戸大学, 理学部, 教授 (50332755)
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| Keywords | 記号・代数計算 / 代数制約解法 / Groebner基底 / 不等式制約解法 / パラメトリックシステム / Galois群計算 / 分解体計算 / 限定子除去法 |
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| Research Abstract |
計算機の進歩により、計算するという観点から現代数学、特に代数学、を見ることが意味を持ちつつあります。この計算を通じて、現代暗号に代表されるように、代数学が直接に工学などの実学に応用されることも可能になっています。本研究では、『現在の計算機の能力で、どこまで代数における数学的な操作が計算可能か』を代数構造の分解に焦点をあてて検証し、実現した計算法を『数学研究支援として役立てる』ことを試みました。本年は、昨年度に引き続き、(1)可換代数における分解計算と(2)計算による数学研究支援を中心に取り扱いました。
(1)では、(a)多項式イデアルの一般的な取り扱いのため、指数部と係数部にパラメータを含む場合の構造の『安定性』に取り組み、Groebner基底の視点から、最も基本的な0次元の場合に、安定性の定式化とその判定(Groebner基底計算)を与えることに成功しました。(b)有理数係数多項式のGalois群と分解体の計算法について、かねてより開発していたmodular技法をより有効にする改良をParis第6大学の大学院生Renault氏と共同で行い、計算機上の実装実験によりその有効性を検証しました。(c)不等式制約の下での最適化計算として、制約式、目的関数とも多項式(有理関数)の場合に、限定子除去法が非常に強力な計算法と考えられていますが、その計算効率の悪さが非常に問題でした。そこで、この計算効率の改善のため、穴井研究員(富士通研究所)と共同で、数値計算との融合をはかり、さらには、代数拡大体計算にdynamic evaluationを適用する新たな方式を開発しました。
(2)では、(a)昨年度にほぼ完成していた代数曲線における未解決問題(Abhyankar)に対して、藤本助教授(福岡教育大)らと共同でその反例を連立代数方程式の解の非存在に帰着し、計算により確認した成果を完成させました。(b)また木村COE研究員(九州大学)と共同で、関孝和の和算問題(連立代数方程式)をGroebner基底計算と実数解の数え上げ法を組み合わせることで、正しい解が1組だけ存在することを確認しました。不可能と思われていた計算問題が現在の計算機環境において実際に解くことができたという非常に興味深い事例を得たことになります。(c)分担者の野呂は、木村COE研究員らと共同で、量子計算機に関する連立代数方程式の解の分析を行い、従来の数値計算でしか検証できなかった問題の正確な検証に成功しています。
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Research Products
(6 results)
