ベルグマン・ゼータ関数と複素領域の指数定理

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15340040
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 平地 健吾 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (60218790)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 小松 玄 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (60108446)
• Keywords: ベルグマン核 / 放物型不変式論 / CR幾何 / 強擬凸領域

Research Abstract

本年度は強擬凸領域上でのベルグマン体積要素の積分とベルグマン・ゼータ関数(まだ厳密には定義されていない)の原点での値の関係を研究した。ベルグマン体積要素は境界で発散するため、その積分も発散する。そこで領域をコンパクトな集合で内部から近似し、コンパクト集合上での積分の(近似パラメータに関する)漸近展開を考えた。その結果、この展開の対数項の係数が領域の双正則不変量を与えることを証明した。またこの不変量はセゲー核の対数項の係数の境界上での積分と一致することを示した。セゲー核の対数項は、これから定義する、ベルグマン・ゼータ関数の原点での値と一致することが予想され、この不変量がスペクトル・ゼータ関数の原点での値として与えられるオイラー数のように自然な量であると期待できる。
またセゲー核の対数項は偶数次元共形幾何に現れるQ曲率と関連していることが分かつてきている(2次元のときは一致する)。Q曲率はラプラシアンの冪を主要部とする共形不変微分作用素に付随するリーマン不変量である。このような共形不変微分作用素の存在については階数が次元より低い場合には構成方法が与えられていたが、一般の場合の存在は知られていなかった。論文(平地-Gover)では、この問題について完全な回答を与えた:偶数次元の共形多様体上では次元を超える階数を持った上述の作用素は存在しない。論文(Fefferman-平地)では不変微分作用素とQ曲率の対応の一般化を与えた。ここでは今まで、次元に関する解析接続というあやしい操作て定義されていたQ曲率を、アンビエント計量を用いて定式化しなおし、さらに広いクラスの不変微分作用素へ拡張した。

Research Products

• [Publications] 平地健吾, Charles Fefferman: "Ambient metric construction of Q-curvature in conformal and CR geometries"Mathematical Research Letters. 10. 819-832 (2003)
• [Publications] 平地健吾, Rod Gover: "Conformally invariant powers of the Laplacian - A complete non-existence theorem"Journal of American Mathematical Society. 17. 389-405 (2004)