2005 Fiscal Year Annual Research Report
偏微分方程式の解に時間依存の特異点が現れる諸問題の数理解析
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15340041
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| Research Institution | Kanazawa University |
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Principal Investigator |
小俣 正朗 金沢大学, 自然科学研究科, 教授 (20214223)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
宮川 鉄朗 金沢大学, 自然科学研究科, 教授 (10033929)
田村 博 金沢大学, 自然科学研究科, 助教授 (80188440)
岩崎 宏 金沢大学, 自然科学研究科, 助教授 (30242514)
神保 秀一 北海道大学, 理学研究科, 教授 (80201565)
WEISS Georg 東京大学, 数理科学研究科, 助教授 (30282817)
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| Keywords | 変分問題 / 非線形偏微分方程式 / 特異点数値解析 / 数値解析 / 最小化法 / 自由境界問題 |
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| Research Abstract |
本年度は双曲型の体積保存を伴う自由境界問題の研究がスタートした。体積保存条件を持つ泡の振動方程式を導き、その数値解析プログラムが完成した。この問題は、non-local termを持つ退化双曲型自由境界問題である。この種の自由境界問題には、変分問題に基づく計算方法である双曲型の離散勾配流法が大変有効であり、制約条件の無い場合の双曲型自由境界問題でも、近似方程式がうまく意味づけられる。空間次元が1の場合に強力なダンピングタームの元で、弱解の構成が行われつつある。この問題は、物理的なイメージとしては、石鹸膜が水面にふれているモデルの時間発展ダイナミクスであり、その振動解析するのが目標である。空間微分の主要項を極小曲面方程式とすると自由境界が無くても解の存在が知られていない。よって、ここでは主要項はラプラシアンとした。これに対しても、菊地・小俣等の結果が知られているだけである。
これらの知見をもとに数値計算を行った。泡の合体や分離も取り扱えるようになった。また、この間題が気水界面上の油滴の問題に応用できることが分かってきた。界面活性剤を吸収しながら自励的に動く油滴の問題である。バルクの方程式と連立させ自励的な動作が確認できた。また、動作中の振動や、合体、分離も再現されることが分かった。
研究は、補助金のおかげと研究分担者の協力により順調な進捗を見せている。今後の課題として、より高速なアルゴリズムの開発など計算機へのフィードバックをはかりたい。
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